Question

Calcule a integral ∫∫R y dA onde R é a região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y²=4-4x e y²=4+4x. Utilize a mudança de variáveis x=u²-v² e y=2uv.

Answer 1

A integral resulta em 2.

Na figura, temos a região de integração, e sua transformação para x = u² - v² e y = 2uv resulta em um quadrado de lado igual a 1, ou seja, 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1.

Para aplicar a mudança de variáveis, devemos calcular o Jacobiano da transformação, dado por:

J = |(dx/du)(dy/dv) - (dy/du)(dx/dv)|

Como temos x = u² - v² e y = 2uv, temos:

dx/du = 2u

dx/dv = -2v

dy/du = 2v

dy/dv = 2u

Logo, temos:

J = |(2u)(2u) - (2v)(-2v)| = 4u² + 4v² = 4(u² + v²)

Substituindo na integral, temos:

$\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {(2uv)4(u^2+v^2)} \, dudv = 8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v + uv^3} \, dudv$

Calculando, encontramos a área:

$8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v + uv^3} \, dudv = 8\int\limits^1_0 {\left(v\dfrac{u^4}{4} + v^3\dfrac{u^2}{2}\right)|_0^1} \, dv\\8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v + uv^3} \, dudv = 8\int\limits^1_0 {\left(\dfrac{v}{4} + \dfrac{v^3}{2}\right)} \, dv\\8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v + uv^3} \, dudv = 8\left(\dfrac{v^2}{8} + \dfrac{v^4}{8}\right)|_0^1\\8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v + uv^3} \, dudv = 8\left(\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}\right) = 2$