Question

Calcule a integral ∫∫∫R y dA, onde R é a região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y² = 4 - 4x e y² = 4 + 4x. Utilize mudanças de variáveis x = u² - v² e y = 2uv.

Answer 1

A integral resulta em 2.

A região de integração R está em anexo, e sua transformação para x = u² - v² e y = 2uv resulta em um quadrado de lado igual a 1, ou seja, 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1.

Para aplicar a mudança de variáveis, devemos calcular o Jacobiano da transformação, dado por:

J = |(dx/du)(dy/dv) - (dy/du)(dx/dv)|

Como temos x = u² - v² e y = 2uv, temos:

dx/du = 2u

dx/dv = -2v

dy/du = 2v

dy/dv = 2u

Logo, temos:

J = |(2u)(2u) - (2v)(-2v)| = 4u² + 4v²

J = 4(u² + v²)

Substituindo na integral, temos:

$\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {(2uv)4(u^2+v^2)} \, dudv = 8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v+uv^3} \, dudv$

Calculando, encontramos a área:

$8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v+uv^3} \, dudv = 8\int\limits^1_0 {\left(\dfrac{u^4}{4}v+\dfrac{u^2}{2}v^3}\right)|^1_0 \, dv$

$8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v+uv^3} \, dudv = 8\int\limits^1_0 {\left(\dfrac{v}{4}+\dfrac{v^3}{2}}\right)\, dv$

$8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v+uv^3} \, dudv = 8\left(\dfrac{v^2}{8}+\dfrac{v^4}{8}\right)|^1_0$

$8\int\limits^1_0 \int\limits^1_0 {u^3v+uv^3} \, dudv = 8\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}}\right) = 2$