Question

FUVEST - Questão de PG ! ^^


Uma sequência de números reais a1, a2, a3... satisfaz à lei de formação :

⇒ a(n+1) = 6*an, se n%2 ≠ 0;

⇒ a(n+1) = an/3, se n%2 = 0.

Sabendo que a1 = √2 :

a) Calcule os 8 primeiros termos.

b) Determine a37 e a38.

OBS : Eu queria ver se alguém consegue resolver a B) sem necessariamente achar o a36 (como eu fiz), ou seja, descobrindo os devidos termos independentemente ( sem usar as relações dadas, apenas achando algum tipo de padrão nos termos que possibilite achar qualquer an). Claro, isso se possível ^^

Answer 1

Vamos lá!

Vamos fazer a A) e analisar o que conseguirmos:

Se n for par, $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{3}$

Se n for ímpar, $a_{n+1}=6\cdot a_n$

Para n = 0 já temos o valor.

Fazemos agora:

n = 1: $a_2 = 6\sqrt2$

n = 2: $a_3=2\sqrt2$

n = 3: $a_4=12\sqrt2$

n = 4: $a_5=4\sqrt2$

n = 5: $a_6=24\sqrt2$

n = 6: $a_7=8\sqrt2$

n = 7: $a_8=48\sqrt2$

n = 8: $a_9=16\sqrt2$

Resolvemos uma. Vamos observar os valores de a para n ímpar. Temos a sequência:

$(6\sqrt2, \ 12\sqrt 2, \ 24\sqrt2, \ 48\sqrt2...)$

Para valores n = 1, 3, 5...

Podemos inferir a sequência

$a_{n+1}=3\sqrt2\cdot 2^{\frac{n+1}{2}}$

Que satisfaz as condições.


Para valores de n = 0, 2, 4...

$a_{n+1}=\sqrt2\cdot \sqrt2^{n}$

Agora podemos calcular os termos $a_{37}$ e $a_{38}$ fazendo n = 36 e n = 37 e substituindo na fórmula adequada.

n = 36: $a_{37}=\sqrt2\cdot\sqrt2^{36}\to \boxed{a_{37}=2^{18}\cdot\sqrt2}$

n = 37: Podemos afirmar que esse valor vale seis vezes $a_{37}$, ou seja, $a_{38}=6\cdot2^{18}\cdot\sqrt2=3\cdot2^{19}\sqrt2$

Podemos também utilizar nossa fórmula para n ímpar:

$a_{n+1}=3\sqrt2\cdot 2^{\frac{n+1}{2}}\\ \boxed{a_{38}=3\sqrt2\cdot2^{19}}$