Question

Calcule a integral dupla \int\limits^1_0 \ \int\limits^1_0{|x-y|} \, dxdy

Answer 1

Vamos relembrar duas coisas.

Teorema fundamental do cálculo.

$\fbox{\displaystyle \int\limits^a_b {f(x)} \, dx = F(a)- F(b) }$

Integral de um monômio.$( a \neq 0 )$

$\fbox{\displaystyle \int\limits^a_b {a.x^n} \, dx = \frac{a.x^{n+1}}{n+1}|\limits^a_b }$  

Temos a seguinte integral dupla.

$\fbox{\displaystyle \int\limits^1_0 \ \int\limits^1_0{|x-y|} \, dxdy }$

vamos começar integrando de dentro para fora, de acordo com a variável de referência.

$\fbox{\displaystyle \ \int\limits^1_0{|x-y|} \, dx = [| \frac{x^2}{2}+ y.x | ]\limits^1_0 }$

$\fbox{\displaystyle [| \frac{x^2}{2}+ y.x | ]\limits^1_0 \to |\frac{1^2}{2} - y.1 | - ( |\frac{0^2}{2} - y.0 | ) \to | \frac{1}{2} -y | }$

agora vamos voltar na integral dupla e substituir esse valor :

$\fbox{\displaystyle \int\limits^1_0 |\frac{1}{2} - y| \, dy }$

resolvendo

$\fbox{\displaystyle \int\limits^1_0 |\frac{1}{2} - y| \, dy = [ |\frac{1}{2}.y - \frac{y^2}{2}|]\limits^1_0 }$´

$\fbox{\displaystyle [ |\frac{1}{2}.y - \frac{y^2}{2}|]\limits^1_0 \to | \frac{1.1}{2} - \frac{1^2 }{2} | - ( | \frac{1.0}{2} - \frac{0^2}{2} | ) }$

$\fbox{\displaystyle | \frac{1.1}{2} - \frac{1^2 }{2} | - ( | \frac{1.0}{2} - \frac{0^2}{2} | ) \to |\frac{1}{2} - \frac{1}{2} | = 0 }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \int\limits^1_0 \ \int\limits^1_0{|x-y|} \, dxdy = 0 }$

Qualquer dúvida é só falar.

Veja mais um exemplo de integral.

uma integral tripla, onde resolvemos usando a mesma ideia dessa : https://brainly.com.br/tarefa/27346206