Question

Calcule a integral da função vetorial f(t)=senti costj sec2tk

Answer 1

Através dos cálculos realizados, concluímos que o resultado da integral vetorial f(t) é igual a:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm -(\cos t)i+ (\sin t)j+ \left(\ell n|\sqrt{\tan(2t)+\sec(2t)}|\right)k+C\end{gathered}$

Integral indefinida

Para resolvermos nossa questão, desejamos encontrar a primitiva da função f(t)=sent i + cost j + sec(2t) k. Logo, teremos que resolver a seguinte integral:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int (\sin t)i +(\cos t)j+ (\sec(2t))k\ dt\end{gathered}$

Para calcularmos essa integral iremos utilizar a seguinte propriedade:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int \left[ f(x)\pm g(x) \right] dx+\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm i\int \sin (t )\ dt+j\int\cos (t)\ dt+ k\int\sec(2t)\ dt\end{gathered}$

Lembrando também que essas integrais trigonométricas já são tabeladas, sendo elas iguais a:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int \sin (x)dx = -\cos(x)+C\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int \cos (x)dx = \sin(x)+C\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int \sec(x)dx = \ell n| \tan (x)+\sec(x)|+C\end{gathered}$

Mas perceba que a ultima integral não está da forma tabelada, para resolver isso, basta aplicarmos uma simples substituição:

• $\large\displaystyle\begin{gathered}\rm u=2t\end{gathered}$

• $\large\displaystyle\begin{gathered}\rm du=(2t)'dt\end{gathered}$

• $\large\displaystyle\begin{gathered}\rm du=2dt\end{gathered}$

• $\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \frac{du}{2}=dt\end{gathered}$

Com isso, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int\sec(u)\cdot \frac{du}{2} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \frac{1}{2} \int\sec(u) \ du\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \frac{1}{2} \cdot \ell n|\tan(u)+\sec(u)|+C\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \ell n|\sqrt{\tan(2t)+\sec(2t)}|+C\end{gathered}$

Substituindo os resultados e somando as integrais, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm i\int \sin (t )\ dt+j\int\cos (t)\ dt+ k\int\sec(2t)\ dt\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm -(\cos t)i+ (\sin t)j+ \left(\ell n|\sqrt{\tan(2t)+\sec(2t)}|\right)k+C\end{gathered}$

Para mais exercícios sobre integrais, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51033932

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