Question

Calcule a derivada de $y = \frac{1}{e^{2} + e^{-x} }$
$y = \frac{e^{2}(acos bx + bsenbx)}{a^{2}+b^{2} }$

Answer 1

primeira funcão nas duas primeiras fotos e a segunda nas duas últimas

Answer 2

Olá. boa tarde.

Antes de começar, vamos relembrar algumas propriedades de derivadas.

1) Derivada da exponencial

$y = a^{u}$ ( a>0 e a $\neq$1; e sendo "u" uma função)

$y' = a^u.ln(a).u'$

Então, se tiver uma função desse tipo :

$y = e^{u}$ ( onde "u" é uma função)

$y' = e^u. lne.u'$

$( ln(e) = Log_{e}e = 1 )$

$y'= e^u.u'$

2) Derivada de Cos(u) e sen(u)  ( onde u é uma função)

$y = Cos(u)$

$y' = -sen(u).u'$

e

$y= sen(u)$

$y' = Cos(u).u'$

Derivando a primeira função

$y = \frac{1}{e^2+e^{-x} }$

Note que eu posso escrever como sendo :

$y = (e^2 + e^{-x})^{-1}$  

derivando

$y' = -1.(e^2+e^{-x})^{-2}.[(e^2') + (e^{-x})' ]$

Note que e² é constante, então a derivada dela é 0.

Usando a primeira propriedade :

$(e^{-x})' = e^{-x} .(-x)' = e^{-x} . -1$

vou voltar a função para o denominador e substituir derivada.

$y'= \frac{-1}{(e^2+e^{-x})^2 } .[ e^{-x}.-1]$

$y' = \frac{e^{-x} }{(e^2+e^{-x})^2 }$  ( pronto, essa é a derivada )

Segunda função

$y = \frac{e^2.(a.cos(bx)+b.sen(bx) }{a^2+b^2 }$

Note que :   $\frac{e^2}{a^2+b^2 }$   é constante, então eu vou colocá-lo em evidência e derivar só a função, que está dentro parêntese

$y' = \frac{e^2}{a^2+b^2}.[ a.(Cos(b.x))'.(bx)' + b.(sen(bx))'.(bx)' ]$

$y' = \frac{e^2}{a^2+b^2 }.[-a.sen(bx).b + b.cos(bx).b ]$

$y' = \frac{e^2}{a^2+b^2 }.[-a.b.Sen(bx) + b^2.Cos(bx)]$

$y' = \frac{e^2.[-ab.Sen(bx) + b^2.Cos(bx)]}{a^2+b^2}$

(Se eu errei algo, foi mal)

Qualquer dúvida é só falar.