Question

Calcule a área total e o volume de um cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 32πcm².

Answer 1

Cone equilátero : geratriz = diâmetro da base (geratriz = 2 * raio da base)

Área lateral (Al) = π * r * g , em que :
r → raio da base;
g → geratriz...

Sendo um cone equilátero, g = 2 * r...

Sendo ⇒ Al = 32 * π cm² :

32 * π = π * r * g → "Corta-se" π !
32 = r * g → g = 2 * r :
32 = r * 2 * r
32 / 2 = r²
r² = 16
r = √16
r = 4 cm → raio da base ! (descarta-se a raiz negativa)

Logo, g = 2 * 4 ⇒ g = 8 cm → geratriz do cone !

Área total (At) = Área lateral (Al) + Área da base (Ab)

A base é um círculo, de forma que :
Ab = π * r² 

Sendo ⇒ r = 4 cm :
Ab = π * 4²
Ab = 16 * π cm²

At = Al + Ab 
Sendo ⇒ Al = 32 * π cm² e Ab = 16 * π cm² :

At = 32 * π +16 * π 
At = 48 * π cm² ⇒ Área total do cone !

Volume (V) = Ab * h / 3

Por Pitágoras, traçamos um triângulo retângulo, em que a geratriz (g) é a hipotenusa e a altura (h) e o raio (r) são os catetos. Logo :

g² = h² + r²
Sendo ⇒ g = 8 cm e r = 4 cm :

8² = h² + 4²
64 - 16 = h²
h² = 48
h = √48 → Fatorando :
h = 4 * √3 cm → Altura do cone !

V = Ab * h / 3 
Sendo ⇒ Ab = 16 * π cm² e h = 4 * √3 cm :

V = 16 * π * 4 * √3 / 3
V = (64 * π * √3 / 3) cm³ ⇒ Volume do cone !

Se ainda aproximarmos π ≈ 3, obtemos V = 64 * √3 cm³, mas o exercício não nos deu essa aproximação.