Question

Calcule a área da região limitada pelas curvas y=x² e y=√x

Answer 1

Pontos de intersecção:

$\mathsf{{x}^{2}=\sqrt{x}}\\\mathsf{{({x}^{2})}^{2}={(\sqrt{x})}^{2}} \\\mathsf{ {x}^{4} = x } \\\mathsf{ {x}^{4} - x = 0 } \\\mathsf{x( {x}^{3} - 1) = 0 }$

$\mathsf{x = 0} \\\mathsf{ {x}^{3} - 1 = 0} \\\mathsf{ {x}^{3} = 1} \\ \mathsf{x = \sqrt[3]{1} = 1}$

$\displaystyle\mathsf{A=\int\limits_{0}^{1}({\sqrt{x} -{x}^{2})dx}} \\\displaystyle\mathsf{A=\left[\dfrac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{3}{x}^{3}\right]_{0}^{1}}$

$\mathsf{A=\dfrac{2}{3}.{1}^{\frac{3}{2}}- \dfrac{1}{3}.{1}^{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \: u.a }$

Answer 2

A área da região limitada pelas curvas é igual a 1/3 u.a.

Área da região limitada por curvas

Para encontrarmos a área que é delimitada por duas curvas, temos que fazer a integração dos intervalos que essas duas curvas possuem, onde para encontrar esse intervalos igualamos as funções. Calculando os limites, temos:

x² = √x

(x²)² = (√x)²

x⁴ = x

x⁴ - x = 0

x(x³ - 1)  = 0

x = 0

x³ - 1 = 0

x = ∛1

x = 1

Agora, podemos calcular a integral limitando as curvas entre 0 e 1. Calculando essa integral, temos:

$A=\int\limits^1_0 {(\sqrt{x} - x^2)} \, dx$

A = [2/3 * x^(3/2) - 1/3 * x³]0 a 1

A = 2/3 √1 - 1/3 *1³

A = 2/3 - 1/3

A = 1/3 u.a.

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