Question

A soma dos três primeiros termos consecutivos de uma p.g é 21 e o produto, 216. Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule esses números.

Answer 1

A razão (q) de uma P.G é obtida da divisão de um termo pelo seu antecessor. Dessa forma, na P.G dada em questão:

1º termo: x / q
2º termo: x
3º termo: x.q

x/q + x + x.q = 21
x/q . x . x/q = 216

-------------------------
$x^{3}.q / q$ = 216
$x^{3}$ = 216
x = $^{3} \sqrt{216}$
x = 6

⇒ Descobrimos o valor de x, ou seja, o valor do 2º número. Agora, só precisaremos substituir o x por 6 na primeira equação para descobrir a razão (q).

6/q + 6 + 6.q = 21
6/q + 6q = 15
(6$q^{2}$ + 6) / q = 15
6$q^{2}$ - 15q + 6 = 0

⇒ Resolvendo essa equação do 2º grau pela Fórmula de Bhaskara, encontramos dois valores para q como resultado, mas apenas um satisfaz o que é pedido no problema (um número inteiro). 

q' = 2 (RESOLVE O PROBLEMA)
q" = 6/12 (NÃO RESOLVE O PROBLEMA)

Dessa forma, já podemos descobrir os outros dois números que faltam.

x/q = 6/2 = 3
x = 6
x.q = 12


RESPOSTA: os três números da P.G são 3, 6 e 12.


Espero que consiga compreender! =)