Question

Calcular z sabendo-se que A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,z) são vértices de um triângulo de área 6.?

Answer 1

Primeiramente, você deve calcular os vetores e depois os modulos deles, assim:
vetor AC=C - A = (0,0,Z) - (2,0,0) = (-2,0,z)
vetor AB=B - A = (0,2,0) - (2,0,0) = (-2,2,0)
vetor BC= C - B= (0,0,z) - (0,2,0) = (0,-2,z)

Com esses vetores, agora é possivel calcular o modulo deles, onde o modulo é:
vou chamar o modulo de M-->>
M=√a² + b² +c² , onde (a,b,c) são as cordenadas dos vetores acima. Assim
Mac=√(-2)² + 0² + z²) = √4 + z²
Mab=√(-2)² + 2² + 0² = √4 + 4 = √8 = 2√2
Mbc=√0² + (-2)² + z² = √4 + z²

Com esses modulos, já temos as medidas dos lados desse triangulo.
Para calcular (z), precisaremos aplicar a formula de HERON, onde para usa-la,
e necessario ter o semiperímetro do triangulo, calculado somando todos os lados e dividindo por 2, dessa maneira:
Vou chamar o semiperimetro de S-->>
S= (√4 + z² ) + (2√2) + (√4 + z²)
                        2
S= 2(√4 + z²) + (2√2)
                 2
S = 2(√4 + z² + √2)  -------->>>>>coloque o dois em evidencia
                 2
S = (√4 + z²) + √2

Com isso, a formula de HERON, diz:

A = √ s( s - Mac)( s - Mab)( s - Mbc)--------->>>>tudo está dentro da raiz!!

A = √ [(√4 + z²) + √2]. [ ((√4 + z²) + √2) - (√4 + z²)].[((√4 + z²) + √2) - (2√2)]
----->>>continua colocando na parte de cima multiplicando!!!!! sem espaço pra escreve.
[(√4 + z²) + √2) - (√4 + z²)]

ELEVANDO O QUE ESTA ANTES E DEPOIS DA IGUALDADE AO QUADRADO, EU CONSIGO ELIMINAR AQUELA RAIZ QUE PEGA TODA A CONTA. Então vamos fazer isso.
A² = [(√4 + z²) + √2]. [ ((√4 + z²) + √2) - (√4 + z²)].[((√4 + z²) + √2) - (2√2)]
[(√4 + z²) + √2) - (√4 + z²)]
 
6² = [(√4 + z²) + √2].[√2].[(√4 + z²) - √2)].[√2]--->>>somente simplificações.
36 =[(√4 + z²)√2 + 2].[(√4 + z²)√2 - 2]
36 = [(√8 + 2z²) + 2].[(√8 + 2z²) -2]
36 = 8 + 2z² - 4
36 = 4 + 2z²
32 = 2z²
z²=16
z=√16
z=+-4
                                     Z pode ser 4 ou -4

Mano, ficou um pouco confuso, mas pesquisa ae sobre a formula de HERON
que vc irá entender. E é isso manin