Question

Calcular o menor valor de k, para que raiz real da equação: (anexada) seja um número racional inteiro.
a) 1
b) 60
c) 27
d) 37
e) 40

Answer 1

Resposta:

a) 1

Explicação passo-a-passo:

Certo, vamos lá.

Primeiro precisamos isolar o x de alguma forma, vamos começar somando "k" aos dois lados da equação:

$\\\sqrt{4\sqrt[3]{x^{3}} } - k = 1$  -> somar k dos dois lados -> $\\\sqrt{4\sqrt[3]{x^{3}} } = 1 + k$

Agora, vamos elevar os dois lados ao quadrado, a fim de retirar a raiz quadrada:

$\\(\sqrt{4\sqrt[3]{x^{3}} } )^{2} = (1+k)^{2}$  -> elevando ao quadrado -> $\\4\sqrt[3]{x^{3} } = 1 + 2k + k^{2}$

Agora, dividimos ambos lados por 4:

 $\\\sqrt[3]{x^{3} } = \frac{1 + 2k + k^{2}}{4}$

Como o  x está elevado a 3, ao tirarmos sua raiz cúbica, restará apenas x. Portanto, teremos, no fim, apenas o seguinte:

$\\x = \frac{1 + 2k + k^{2}}{4}$

Agora, precisamos que x seja um número INTEIRO (pois sendo inteiro já estará contido nos conjuntos dos números Racionais), para isso, precisaremos que a expressão $1 + 2k + k^{2}$ seja igual a $4$.

$1 + 2k + k^{2} = 4$, Assim, subtraindo 4 em ambos os lados, temos que:

$k^{2} + 2k - 3 = 0$

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos as raízes:

$k_{1} = 1$ e $k_{2} = -3$

Nesse caso, k = -3 seria o menor valor de k para x ser inteiro, mas como as alternativas só possuem o valor positivo de k ( k = 1 ), imagino que a questão pedia o menor valor positivo de k.