Question

calcular n, sabendo que Cn+2,4 =11 . Cn,2 e que n é um numero inteiro positivo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jefferson, que a resolução é simples.

Lembre-se que C₍n, p₎ quer dizer combinação de "n" elementos tomados "p" a "p" e cuja fórmula é esta:

C₍n, p₎ = n!/[(n-p)!.p!]

Assim, tendo-se, portanto a expressão acima como parâmetro, então teremos:

C₍n₊₂, ₄₎ = 11*C₍n, ₂) ----- aplicando a fórmula para ambas as combinações, teremos:

(n+2)!/[(n+2)-4)!.4!] = 11*n!/[n-2)!.2!
(n+2)!/[(n+2-4)!.4!] = 11*n!/[n-2)!.2| ---- desenvolvendo, teremos:
(n+2)!/[(n-2)!.4!] = 11*n!/[(n-2)!.2!]

Agora veja: no 1º membro, desenvolvemos o numerador (n+2)! até (n-2)!. E, no 2º membro, desenvolveremos n! do numerador até (n-2)!. Assim, ficaremos:

(n+2)*(n+1)*(n)*(n-1)*(n-2)!/[(n-2)!.4! = 11*n*(n-1)*(n-2)!/[(n-2)!.2!

Agora veja: dividindo-se (n-2)! do numerador do 1º membro, com (n-2)! do denominador do primeiro membro; e dividindo-se (n-2)! do numerador do 2º membro com (n-2)! do denominador do 2º membro, iremos ficar apenas com:

(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/[4!] = 11*n*(n-1)/[2!]

Agora note que: 4! = 4*3*2*1 = 24; e 2! = 2*1 = 2. Assim, substituindo, teremos:

(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/24 = 11n*(n-1)/2 ---- note: se multiplicarmos ambos os membros por "2", iremos ficar apenas com:

(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/12 = 11n*(n-1) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
(n+2)*(n+1)*n*(n-1) = 12*11n*(n-1)
(n+2)*(n+1)*n*(n-1) = 132n*(n-1) ---- se dividirmos ambos os membros por n*(n-1), iremos ficar apenas com:

(n+2)*(n+1) = 132 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
n² + 3n + 2 = 132 ---- passando "132" para o 1º membro, teremos:
n² + 3n + 2 - 132 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
n² + 3n - 130 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

n' = - 13
n'' = 10

Como está dito no enunciado da questão que "n" é um número inteiro e positivo, então descartaremos a raiz "-13" e ficaremos apenas com a outra raiz, ou seja:

n = 10 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.