Question

Calcular a soma das potências de 5 com expoentes inteiros consecutivos, desde 5² até 5²⁶. Por favor​

Answer 1

Resposta:

A soma das potências de 5, com expoentes inteiros consecutivos, desde 5² até 5²⁶, corresponde à soma dos 25 termos de uma Progressão Geométrica, de razão ou quociente 5, sendo igual a:

• (5²⁷ - 25) / 4

ou, na forma de notação científica,

• ≈ 1,86×10¹⁹

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, vamos determinar a sequência das potências de base 5, com expoentes inteiros consecutivos, desde 5² até 5²⁶:

• S = (5², 5³, 5⁴, 5⁵, 5⁶, 5⁷, ..., 5²², 5²³, 5²⁴, 5²⁵, 5²⁶)

A sequência constitui uma Progressão Geométrica Finita, pois a razão entre dois de seus termos consecutivos, a partir do segundo termo, é constante e igual a 5.

Vejamos:

• a2 ÷ a1 = 5³ ÷ 5² = 5³‐² = 5¹ = 5
• a3 ÷ a2 = 5⁴ ÷ 5³ = 5⁴‐³ = 5¹ = 5
• a4 ÷ a3 = 5⁵ ÷ 5⁴ = 5⁵‐⁴ = 5¹ = 5
• ...
• a23 ÷ a22 = 5²⁴ ÷ 5²³ = 5²⁴‐²³ = 5¹ = 5
• a24 ÷ a23 = 5²⁵ ÷ 5²⁴ = 5²⁵‐²⁴ = 5¹ = 5
• a25 ÷ a24 = 5²⁶ ÷ 5²⁵ = 5²⁶‐²⁵ = 5¹ = 5

O número de termos da Progressão Geométrica é 25.

Portanto, temos conhecimento de todos os elementos necessários para o cálculo da soma dos 25 termos desta Progressão Geométrica:

• primeiro termo ou termo a1: 5² = 25
• razão ou quociente q: 5¹ = 5
• número de termos n: 25

Para calcular a soma dos números presentes nesta Progressão Geométrica, utilizaremos a seguinte Fórmula:

• Sn = [a1 × (qⁿ - 1)] / (q - 1)

Onde:

• Sn: Soma dos Termos da Progressão Geométrica
• a1: primeiro termo da sequência
• q : razão ou quociente
• n: número de termos ou de elementos

Dessa forma, para calcular a soma dos 25 termos da sequência definida pelas potências de base 5 com expoentes inteiros consecutivos, desde 5² até 5²⁶, faremos:

• S25 = [5² × (5²⁵ - 1)] / (5 - 1)

S25 = [(5² × 5²⁵) - (5² - 1)] / 4

S25 = (5²⁷ - 25) / 4

S25 ≈ 1,86×10¹⁹