Question

Calculando (x²+x-1)² + (x²-x+1)² + (x²-x-1)², obtemos um polinômio cujo termo de grau 2 tem coeficiente igual a:

A) 1; B) 3; C) 5; D) 9.

Answer 1

Usando a fórmula do Quadrado de um trinómio ou a  propriedade distributiva da multiplicação, obtém-se:

A) 1

Resolução por dois métodos.

Primeiro método - Fórmula do quadrado do trinómio

Demonstração da fórmula

Sendo:

$(a+b+c)^2\\~\\=(a+b+c)\cdot (a+b+c)\\~\\=a\cdot a+a\cdot b+a\cdot c +b\cdot a+b\cdot b +b\cdot c+c\cdot a +c\cdot b +c\cdot c\\~\\=a^2+ab+ac +ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

• colocar primeiro os termos ao quadrado

Atendendo que :

• ab = ba
• ac = ca
• bc = cb

$=\boxed{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$

A partir do conhecimento desta fórmula rapidamente se chega ao desenvolvimento de um quadrado de um trinómio.

$(x^2+x-1)^2$

Sendo

$a =x^2$

$b=x$

$c=-1$

$(x^2+x-1)^2\\~\\=(x^2)^2+(x)^2+(-1)^2+2x^2x+2x^2(-1)+2x(-1)\\~\\=x^4+x^2+1+2x^3-2x^2-2x\\~\\=x^4+2x^3+(1-2)x^2-2x+1\\~\\=x^4+2x^3-x^2-2x+1$

• exatamente como fazendo pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica

• mas com muito menos cálculos

$(x^2-x+1)^2$

Sendo

$a=x^2$

$b=-x$

$c=1$

$(x^2-x+1)^2\\~\\=(x^2)^2+(-x)^2+1^2+2x^2(-x)+2x^2\cdot 1+ 2(-x) \cdot 1\\~\\= x^4+x^2+1-2x^3+2x^2-2x\\~\\=x^4-2x^3+(1+2)x^2-2x+1\\~\\=x^4-2x^3+3x^2-2x+1$

• exatamente como fazendo pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica

• mas com muito menos cálculos

$(x^2-x-1)^2$

$a=x^2$

$b=-x$

$c=-1$

$(x^2-x-1)^2\\~\\= (x^2)^2+(-x)^2+(-1)^2+2x^2(-x)+2x^2\cdot(-1)+2(-x)\cdot (-1) \\~\\=x^4+x^2+1-2x^3-2x^2+2x\\~\\=x^4-2x^3+(1-2)\cdot x^2+2x+1\\~\\=x^4-2x^3- x^2+2x+1$

Cálculo final do coeficiente do termo de grau 2

$-x^2+3x^2-x^2=(-1+3-1)\cdot x^2=(3-2)\cdot x^2=1\cdot x^2$

logo A) 1

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Segundo método

• propriedade distributiva da multiplicação em  relação à adição algébrica

Para não tornar " pesadas" a expressão a calcular, separadamente

calcular-se-á cada uma das parcelas.

$(x^2+x-1)^2\\~\\(x^2+x-1)\cdot (x^2+x-1)\\~\\x^2\cdot x^2 + x^2 \cdot x +x^2\cdot (-1)+x\cdot x^2 +x\cdot x +x\cdot(-1)-1\cdot x^2 -1\cdot x -1\cdot(-1)\\~\\=x^4+x^3-x^2+x^3+x^2-x-x^2-x+1\\~\\=x^4+2x^3+(-1+1-1)\cdot x^2-2x+1\\~\\=x^4+2x^3-x^2-2x+1$

$(x^2-x+1)^2 \\~\\= (x^2-x+1)\cdot (x^2-x+1)\\~\\=x^2\cdot x^2 +x^2\cdot(-x) +x^2\cdot 1-x\cdot x^2-x\cdot (-x) -x\cdot 1+1\cdot x^2+1\cdot(-x) + 1\cdot 1\\~\\=x^4-x^3+x^2-x^3+x^2-x+x^2-x+1\\~\\=x^4-2x^3+(1+1+1)\cdot x^2 +(-1-1)x +1\\~\\=x^4-2x^3+3x^2-2x+1$

       

$(x^2-x-1)^2\\~\\=(x^2-x-1)\cdot (x^2-x-1)\\~\\=x^2\cdot x^2 +x^2\cdot (-x) +x^2 \cdot(-1) -x\cdot x^2 -x\cdot(-x) -x\cdot (-1)-1\cdot x^2 -1\cdot(-x)-1\cdot (-1)\\~\\= x^4-x^3-x^2-x^3+x^2+x-x^2+x+1\\~\\=x^4+(-1-1)x^3+(-1+1-1)\cdot x^2+(1+1)\cdot x+1\\~\\=x^4-2x^3-x^2+2x+1$

Cálculo final do termo de grau 2

$-x^2+3x^2-x^2=(-1+3-1)\cdot x^2=(3-2)\cdot x^2=1\cdot x^2$

logo A) 1

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Observação final → Este exercício é para treinarem a fórmula do produto

notável de do Quadrado de um Trinómio.

Deve resolver pelo primeiro método, que deve estar agora a estudar.

O segundo método, embora correto, não deverá ser apresentado como

resolução nesta tarefa.

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot )$  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.