Question

Cada um dos seguintes trinômios são quadrados perfeitos. Fatore cada um deles:
a) $x^{2} +12xy + 36 y^{2}$
b) $a^{2} -20ay + 25 y^{2}$
c) $10 m^{2} + 60m + 9$

Answer 1

A forma geral de um trinômio quadrado perfeito é a² + 2ab + b² ou a² - 2ab + b² e para fatorá-los, basta deixar na forma (a+b)² ou (a-b)², respectivamente. 

a) Para fatorar trinômios, então, basta encontrar os valores de a e b e aplicá-los à forma indicada acima. Neste caso, a² = x², logo, a = √x² = x; b² = 36y², logo, b = √36y² = 6y. 
Se a = x e b = 6y:
(x+6y)² é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito.
(O sinal é sempre igual ao sinal do segundo termo. Se 12xy é positivo, utiliza-se +).

b) a² - 20ay + 25y² não é um trinômio quadrado perfeito, pois o segundo termo deve ser igual a 2.a.b. No caso, 2.a.5y = 10ay. 

Considerando a² - 10ay + 25y² (que é um trinômio quadrado perfeito):
Inicialmente, nota-se que o segundo termo é negativo. Portanto, a forma fatorada do trinômio será (a - b)². Como a é utilizado na expressão, utiliza-se outros símbolos para a e b, apenas para uma melhor visualização e coerência nos cálculos. Por exemplo: (c - d)².
c² = a²
c = √a²
c = a

d² = 25y²
d = √25y²
d = 5y

Assim, a forma fatorada é: (a - 5y)².

c) Neste item também é possível notar um erro. Ao calcular b, tem-se 3. Sabendo que o segundo termo é igual a 2.a.b:
2.a.b = 60m
2.a.3 = 60m
6a = 60m
a = 60m/6
a = 10m
Para ser um trinômio quadrado perfeito, a deve ser necessariamente igual a 10m, já que 10 não possui raiz quadrada exata. 
Então, supondo 100m² + 60m + 9:

a² = 100m²
a = √100m²
a = 10m

b² = 9
b = √9
b = 3

Sendo assim, fatorando a expressão contida no item c. tem-se: (10m + 3)².

Para conferir os cálculos, basta desenvolver os produtos notáveis encontrados.