Question

Boa tarde , algum filho de Deus para me ajudar aqui ? Integração por partes ?$\int\limits {ln(1-x)} \, dx$

Answer 1

Chamaremos ln(1-x) de u 

dv = dx
----------------------------

u = ln(1-x)

du/dx =  [ ln(1-x) ]'(1-x)'

du/dx = 1/(1-x)*(-1)

du/dx = -1/(1-x)

du = -dx/(1-x)
--------------------------------

dv = dx

∫dv = ∫dx

v = x
----------------------

Logo teremos:

∫ ln(1-x)dx = uv-∫vdu

∫ln(1-x)dx = x*ln(1-x) - ∫ x*-dx/(1-x)

∫ln(1-x)dx = x*ln(1-x) + ∫ x*dx/(1-x)

vamos procurar a ∫ xdx/(1-x)

Utilizaremos o método da integração simples.

t = 1-x

dt/dx = -1

dt = -dx

-dt = dx
-----------------------
Isolando x nessa expressão:

t = 1-x

x = 1-t
-----------------------

Substituindo x por "1-t" e -dt por dx e "1-x" por t ficaremos:

∫xdx/(1-x) = ∫ (1-t)*-dt/t

= ∫ (1-t)*-dt/t

= ∫ (-1/t +t/t)dt

= ∫ (-1/t +1)dt

= -ln|t| + t +C
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Substituindo t por 1-x

∫xdx/(1-x) = -ln|1-x| + 1-x +C
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Voltando na integral maior:

∫ln(1-x)dx = x*ln(1-x) + ∫ x*dx/(1-x)

Substituindo a ultima expressão:

∫ln(1-x)dx = x*ln(1-x) + [ -ln|1-x| + 1-x ] + C


∫ln(1-x)dx = x*ln(1-x) - ln |1-x| -x+1 +C