Question

(b) Se a < 0, quais devem ser os sinais de b e c para que a equação ax² + bx +c=0
tenha raízes de sinais contrários, sendo o módulo da raiz positiva maior do que o módulo da
raiz negativa?​

Answer 1

Os sinais de b e c deverão ser positivos.

Considere que x' e x'' são as duas raízes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0. Então:

• A soma x' + x'' é igual a $-\frac{b}{a}$;
• O produto x'.x'' é igual a $\frac{c}{a}$.

De acordo com o enunciado, queremos que a equação ax² + bx + c = 0 tenha raízes de sinais contrários.

Isso significa que o produto x'.x'' é negativo, ou seja $\frac{c}{a}<0$. Mas, a < 0. Então, para a divisão $\frac{c}{a}$ ser negativa, o valor de c obrigatoriamente tem que ser positivo: c > 0.

Além disso, o módulo da raiz positiva é maior do que o módulo da raiz negativa. Suponha que |x'| > |x''|. Daí:

|x'| - |x''| > 0

x' + x'' > 0

$-\frac{b}{a}>0$

$\frac{b}{a}<0$.

Como a < 0, então o valor de b deverá ser positivo: b > 0.