Question

b) integrate (x + 2)/(x ^ 2 + 4x) dx​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{x + 2}{x {}^{2} + 4x } dx$

Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Esse tal método é usado quando tem-se uma função e a sua derivada dentro da integral. Digamos que a função "u" seja x² + 4x, agora vamos derivar a mesma:

$u = x {}^{2} + 4x \longrightarrow\frac{du}{dx} = 2x + 4 \\ \\ \frac{du}{dx} = 2.(x + 2)\longrightarrow \frac{du}{2} = (x + 2)dx$

Fazendo as devidas substituições:

$\int \frac{ \frac{du}{2} }{u} \longrightarrow \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$

Essa integral já é conhecida, ela é dada por:

$\boxed{ \int \frac{1}{x} dx = \ln( |x|) + k }$

Aplicando temos que:

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du \longrightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{1}{2} . \ln( |x {}^{2} + 4 |) }}}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

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$\displaystyle\sf\int\dfrac{x+2}{x^2+4x}~dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+4}{x^2+4x}~dx\\\rm fac_{\!\!,}a~u=x^2+4x\implies du=2x+4~dx\\\displaystyle\sf\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+4}{x^2+4x}~dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{du}{u}=\dfrac{1}{2}\ell n|u|+k\\\displaystyle\sf\int\dfrac{x+2}{x^2+4x}=\dfrac{1}{2}\ell n(x^2+4x)+k$