Question

avalie a integral ∫∫∫2x dv onde E é a regiao sob o plano 2x+3y+z=6 que se encontra no primeiro oitavo

Answer 1

O valor da integral tripla ∫∫∫2x dv com E sendo a região abaixo do plano 2x+3y+z=6 que se encontra no primeiro oitavo é igual a 9.

Na solução, se nós desenhássemos um gráfico com eixos x, y e z com essas coordenadas, poderíamos observar que ele cruzaria o eixo z em 6, o  eixo y em 2 e o eixo x em 3.

Aqui observamos que podemos limitar z pelo plano acima  e depois pelo plano z = 0 abaixo, pois precisamos permanecer no primeiro oitavo, conforme o enunciado. Portanto, temos que:

0 ≤ z ≤ 6 - 2x - 3y.

O próximo passo é observar onde x e y apresentam os maiores valores. Vemos que eles são  maiores no plano xy quando z = 0. Assim, obtemos um triângulo que possui vértices (0, 0),  (0, 2) e (3, 0), de acordo com o gráfico com eixos x e y inserido no anexo.

Então, com esses dois pontos é possível encontrar a equação de reta:

y = $\frac{-2}{3}$x + 2.

Assim, outras considerações são:

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ $\frac{-2}{3}$x + 2

De posse dessas informações, podemos dar início a resolução da integral tripla, conforme resolução inserida em anexo.

Espero ter ajudado!