Question

Autovalores e autovetores dessa matriz 3x3? [2 -1 1... -1 2 1... 1 1 2]

Answer 1

$A=\left[\begin{array}{ccc}~~2&-1&1\\-1&~~2&1\\~~1&~~1&2\end{array}\right]$

Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico de A:

$p_{c}^{A}(\lambda)=det(A-\lambda I)$

Porém

$det(A-\lambda I)=det\left(\left[\begin{array}{ccc}~~2&-1&1\\-1&~~2&1\\~~1&~~1&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{array}\right]\right)\\\\\\det(A-\lambda I)=det\left[\begin{array}{ccc}~~2-\lambda&-1&1\\-1&~~2-\lambda&1\\~~1&~~1&2-\lambda\end{array}\right]\\\\\\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^{3}-1-1-(2-\lambda)-(2-\lambda)-(2-\lambda)\\\\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^{3}-3(2-\lambda)-2\\\\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\cdot[(2-\lambda)^{2}-3]-2$

$det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\cdot(4-4\lambda+\lambda^{2}-3)-2\\\\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(\lambda^{2}-4\lambda+1)-2\\\\p_{c}^{A}(\lambda)=2\lambda^{2}-8\lambda+2-\lambda^{3}+4\lambda^{2}-\lambda-2\\\\p_{c}^{A}(\lambda)=-\lambda^{3}+6\lambda^{2}-9\lambda\\\\\boxed{\boxed{p_{c}^{A}(\lambda)=\lambda\cdot(-\lambda^{2}+6\lambda-9)}}$

Então, temos que as raízes do polinômio característico são

$p_{c}^{A}(\lambda)=0~~\therefore~~\lambda\cdot(-\lambda^{2}+6\lambda-9)=0\begin{cases}\lambda=0~ou\\-\lambda^{2}+6\lambda-9=0~~(\lambda=3)\end{cases}$

λ = 0 e λ = 3 são os autovalores de A
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Achando base para o autoespaço associado a λ = 0 (achar base para o núcleo de A - 0I = A):

$\left[\begin{array}{cccc}~~2&-1&1&0\\-1&~~2&1&0\\~~1&~~1&2&0\end{array}\right]~l_{2}\leftarrow2l_{2}+l_{1},~l_{3}\leftarrow2l_{3}-l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}2&-1&1&0\\0&~~3&3&0\\0&~~3&3&0\end{array}\right]l_{2}\leftarrow(\frac{1}{3})l_{2},~l_{3}~\'e~descartada\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}2&-1&1&0\\0&~~1&1&0\end{array}\right]l_{1}\leftarrow l_{1}+l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}2&0&2&0\\0&1&1&0\end{array}\right]l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}$

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\0&1&1&0\end{array}\right]$

Temos uma variável livre (terceira coluna). Colocando as variáveis em função da terceira, temos que

$N(A)=span\{(-1,-1,1)\}$

Portanto, um (-1,-1,1) é autovetor associado ao autovalor λ = 0 (qualquer múltiplo dele também é autovetor associado ao autovalor λ = 0)
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Achando uma base para o autoespaço associado ao autovalor λ = 3 (achando o núcleo de A - 3I)

$A - 3I=\left[\begin{array}{ccc}~~2&-1&1\\-1&~~2&1\\~~1&~~1&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{array}\right]\\\\\\\boxed{\boxed{A - 3I=\left[\begin{array}{ccc}-1&-1&~~1\\-1&-1&~~1\\~~1&~~1&-1\end{array}\right]}}$

Achando o núcleo dessa matriz:

$\left[\begin{array}{cccc}-1&-1&~~1&0\\-1&-1&~~1&0\\~~1&~~1&-1&0\end{array}\right]l_{1}\leftarrow(-1)l_{1},~l_{2}~descartada~(l_{2}=l_{1})\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\1&1&-1&0\end{array}\right]l_{2}~descartada\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\end{array}\right]$

Temos duas variáveis livres. Fazendo as devidas parametrizações, temos que

$N(A-3I)=span\{(-1,1,0),(1,0,1)\}$

Portanto, (1,1,0) é autovetor associado ao autovalor λ = 3 (também poderíamos usar o vetor (1,0,1), ou qualquer combinação linear dos dois vetores da base)