Question

Assinale a alternativa que representa a série de Maclaurin da função g(x) = $\frac{1}{(1-x)^{2} }$ , sabendo que a série de Maclaurin da função f(x) = $\frac{1}{1-x}$ é: $\frac{1}{1-x}=$$1+x+x^2+x^3+...+x^n+...$ , para -1 < x < 1.

(Sugestão: use resultados que permitam, a partir da série de Maclaurin da função f, obter a série de Maclaurin da função g)

$a) g(x) = x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...+\frac{x^n}{n}, para -1 \ \textless \ x \ \textless \ 1.\\b) g(x) = 1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^n^-^1+..., para -1 \ \textless \ x \ \textless \ 1. \\c) g(x) = 1+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n+...,para -1 \ \textless \ x \ \textless \ 1.\\d) g(x) = 2x+3x^2+4x^3+...+nx^n^-^1+..., para -1 \ \textless \ x \ \textless \ 1.\\e)g(x) = x+x^2+x^3+...+x^n^-^1+..., para -1 \ \textless \ x \ \textless \ 1.$

Answer 1

Desejamos saber a série de Maclaurin da função g(x) utilizando o resultado da série de Maclaurin da função f(x).

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \sum^{\infty}_{n=0} x^n=\frac{1}{1-x} \end{gathered}$

Agora, perceba que a derivada da função f(x) é igual a função g(x). Para calcular a derivada da função f(x), devemos utilizar a regra do quociente.

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\sf \left(\frac{f}{g} \right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}} \end{gathered} }$

Aplicando na função f(x), temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) =\frac{1'\cdot (1-x)-1\cdot (1-x)'}{(1-x)^2} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) =\frac{0\cdot (1-x)-1\cdot (-1)}{(1-x)^2} \end{gathered}$

$\boxtimes \ \large\displaystyle\begin{gathered}\sf \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) =\frac{1}{(1-x)^2} \end{gathered}$

Portanto, ficamos da seguinte forma:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \frac{d}{dx} \left(\sum^{\infty}_{n=0} x^n\right)=\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) \end{gathered}$

E pela regra do tombo ( $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf (x^n)'=nx^{n-1}\end{gathered}$ ), surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \sum^{\infty}_{n=0} nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \sum^{\infty}_{n=0}xn^{n-1}=\frac{d}{dx}\left(\sum^{\infty}_{n=0}x^n \right) \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \sum^{\infty}_{n=0}xn^{n-1}=\frac{d}{dx}\left( 1+x+x^2+x^3+x^4+\dots+x^n\right) \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underline{\boxed{\sf \sum^{\infty}_{n=0}xn^{n-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\dots+nx^{n-1} }} \end{gathered} }$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

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