Question

Assim como nas funções que envolvem os espaços vetoriais dos números reais, também é válido falar em transformações lineares injetoras e sobrejetoras. E para falar nestas duas características da aplicação linear, é preciso aplicar os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação.

Blog do Mestre (Adaptado), 2018.

Answer 1

Todas as afirmações estão corretas.

A transformação será injetora quando a dimensão do núcleo for igual a zero.

A transformação será sobrejetora quando a dimensão da imagem for igual à dimensão do domínio.

Vamos analisar cada transformação.

I. Vamos calcular o núcleo da transformação T(x,y) = (x,2x).

Para isso, precisamos igualar a transformação ao vetor nulo (0,0):

(x,2x) = (0,0).

Então, temos o sistema:

{x = 0

{2x = 0

Logo, x = 0 e o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0)}. Consequentemente, a dimensão do núcleo é 0.

Portanto, a transformação é injetora.

II. Calculando o núcleo da transformação T(x,y) = (y,x), obtemos:

(y,x) = (0,0)

{y = 0

{x = 0.

Logo, o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0)}. Como a dimensão do núcleo é zero, então a transformação é injetora.

III. Observe que a dimensão do núcleo da transformação T(x,y,z) = (x + y, x, x - z) é zero.

A dimensão do domínio da transformação é 3.

Então:

dim IR³ = dim N(T) + dim Im(T)

3 = 0 + dim Im(T)

dim Im(T) = 3.

Portanto, a transformação é injetora.

IV. Novamente, temos que a dimensão do núcleo da transformação é zero.

A dimensão do domínio da transformação é 2.

Então:

dim IR² = dim N(T) + dim Im(T)

2 = 0 + dim Im(T)

dim Im(T) = 2.

Portanto, a transformação é sobrejetora.