Assim como nas funções que envolvem os espaços vetoriais dos números reais, também é válido falar em transformações lineares injetoras e sobrejetoras. E para falar nestas duas características da aplicação linear, é preciso aplicar os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação.
Blog do Mestre (Adaptado), 2018.
Soluções para a tarefa
Todas as afirmações estão corretas.
A transformação será injetora quando a dimensão do núcleo for igual a zero.
A transformação será sobrejetora quando a dimensão da imagem for igual à dimensão do domínio.
Vamos analisar cada transformação.
I. Vamos calcular o núcleo da transformação T(x,y) = (x,2x).
Para isso, precisamos igualar a transformação ao vetor nulo (0,0):
(x,2x) = (0,0).
Então, temos o sistema:
{x = 0
{2x = 0
Logo, x = 0 e o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0)}. Consequentemente, a dimensão do núcleo é 0.
Portanto, a transformação é injetora.
II. Calculando o núcleo da transformação T(x,y) = (y,x), obtemos:
(y,x) = (0,0)
{y = 0
{x = 0.
Logo, o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0)}. Como a dimensão do núcleo é zero, então a transformação é injetora.
III. Observe que a dimensão do núcleo da transformação T(x,y,z) = (x + y, x, x - z) é zero.
A dimensão do domínio da transformação é 3.
Então:
dim IR³ = dim N(T) + dim Im(T)
3 = 0 + dim Im(T)
dim Im(T) = 3.
Portanto, a transformação é injetora.
IV. Novamente, temos que a dimensão do núcleo da transformação é zero.
A dimensão do domínio da transformação é 2.
Então:
dim IR² = dim N(T) + dim Im(T)
2 = 0 + dim Im(T)
dim Im(T) = 2.
Portanto, a transformação é sobrejetora.