As retas r e s do plano cartesiano passam pelo ponto (7,3) e têm coeficientes angulares respectivamente iguais a m e -1/m , sendo m > 0. a) Determine as coordenadas do ponto onde a reta r intercepta o eixo x quando m = 2. b) Para quais valores de m as retas r e s determinam, com o eixo x, um triângulo de área 15?
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#VESTIBULAR
Soluções para a tarefa
a) O ponto será (13,0).
Sabendo que ambas as retas são polinômios de primeiro grau e passam pelo ponto (7,3), com coeficiente angular a = (-1/m) e a = m para as retas r e s, respectivamente, teremos:
Equação da reta geral → y = a*x + b
Equação de r → 3 = (-1/m)*7 + br
Equação de s → 3 = m*7 + bs
Aplicando a variável m=2 na equação de r para calcular o seu coeficiente linear (br):
m = 2
reta r → 3 = (-1/2)*7 + br
br = 3 + 7/2 = 13/2
Calculando o ponto onde r intercepta o eixo x, para y = 0:
y = (-1/2)*x + 13/2
0 = (-1/2)*x + 13/2
x = 13
Logo, o ponto onde a reta r intercepta o eixo x será (13,0).
b) Os valores de m serão m = (2 ± √19/7)/3.
A área de um triângulo é calculada pela metade da multiplicação entre a base e sua altura. Como a altura do triângulo é determinada pela posição em y do ponto (7,3), teremos a seguinte relação da área:
A = b*h/2
15 = b*3/2
b = 10 unidades
A base do triângulo será a diferença entre os pontos xr e xs no eixo x (para y=0).
b = xr - xs
10 = xr - xs (para y = 0)
Desenvolvendo as equações:
Reta r
3 = (-1/m)*7 + br
br = 3 + 7/m
yr = (-1/m)*xr + 3 + 7/m
xr = (3 + 7/m - yr)*m
Reta s
3 = m*7 + bs
bs = 3 - 7m
ys = 7m*xs + 3 - 7m
xs = (3 - 7m - ys)*(-1/7m)
Com a relação xr - xs = 10 e y = 0 para ambas as equações podemos encontrar os valores de m:
xr - xs = 10
10 = (3 + 7/m)*m - (3 - 7m)*(-1/7m)
10 = 3m + 7 + 3/7m - 1
3m + 7 + 3/7m - 1 - 10 = 0
21m² - 28m + 3 = 0
m = (2 ± √19/7)/3
Espero ter ajudado!