Question

as os metodos usados para responder essa questoes: ITA-SP Sejam f, g: R → R funções tais que: g(x) = 1 – x e f(x) + 2f(2 – x) = (x – 1)3, para todo x ∈ R. Então f[g(x)] é igual a:

Answer 1

$\bullet\;\;$ Temos duas informações dadas pelo enunciado:

$\left\{ \begin{array}{lc} g(x)=1-x&~~~~\mathbf{(i)}\\ \\ f(x)+2f(2-x)=(x-1)^{3}&~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ De $\mathbf{(ii)},$ segue que

$f[g(x)]+2f[2-g(x)]=[g(x)-1]^{3}\\ \\ f[g(x)]+2f[2-(1-x)]=[(1-x)-1]^{3}\\ \\ f[g(x)]+2f(1+x)=[-x]^{3}\\ \\ f[g(x)]+2f(1+x)=-x^{3}\\ \\ f[g(x)]=-x^{3}-2f(1+x)~~~~~~\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Agora, precisamos saber qual a expressão de $f(1+x).$ Novamente pela equação $\mathbf{(ii)},$ temos

$f(1+x)+2f[2-(1+x)]=[(1+x)-1]^{3}\\ \\ f(1+x)+2f(1-x)=x^{3}\\ \\ f(1+x)=x^{3}-2f(1-x)$


Mas $f(1-x)=f[g(x)].$ Substituindo acima, chegamos a

$f(1+x)=x^{3}-2f[g(x)]~~~~~~\mathbf{(iv)}$


$\bullet\;\;$ Substituindo $\mathbf{(iv)}$ em $\mathbf{(iii)},$ obtemos

$f[g(x)]=-x^{3}-2\cdot \left(x^{3}-2f[g(x)] \right )\\ \\ f[g(x)]=-x^{3}-2x^{3}+4f[g(x)]\\ \\ f[g(x)]=-3x^{3}+4f[g(x)]\\ \\ f[g(x)]-4f[g(x)]=-3x^{3}\\ \\ -3f[g(x)]=-3x^{3}\\ \\ f[g(x)]=\dfrac{-3x^{3}}{-3}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} f[g(x)]=x^{3} \end{array}}$