Question

(50 PONTOS) Considere a seguinte sequência $(a_{n}),$ com $n$ natural $\geq 1:$
$~$
$\left(2,\;20,\;56,\;110,\;182,\;\ldots \right )$

a) Determine uma lei de formação para esta sequência.

b) Obtenha uma fórmula fechada para o produto dos $n$ primeiros termos desta sequência:

$P_{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots\cdot a_{n}=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n}{a_{k}}$

(Sugestão: escreva o termo geral em sua forma fatorada, e utilize a definição de fatorial).

Answer 1

Hola

es fácil ver que es una secuencia aritmética "doble" 

2 - 20 - 56 - 110 - 182
  18    36   54      72
        18   18     18

Ahora sea la fórmula de recurrencia $f(n)=an^2+bn+c$ donde
                        $f(1)=a+b+c=2\\ \\ f(2)=4a+2b+c=20\\ \\ f(3)=9a+3b+c=56$

al resolver se tiene $f(n)=9n^2-9n+2$

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$\displaystyle \prod_{i=1}^{n} f(i)=\prod_{i=1}^{n}(3i-1)(3i-2)=\prod_{i=1}^{n}(3i-1)\times\prod_{i=1}^{n}(3i-2)$