Question

As medidas de dois lados consecutivos de um paralelogramo são 5 cm e 2√3 cm. O ângulo formado por esses lados mede 30º. Quanto medem as diagonais desse paralelogramo?

Answer 1

Primeiro, calculamos a diagonal menor, que é a oposta ao ângulo de 30º, usando a Lei dos Cossenos:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos(\alpha)\\\\ d^2=5^5+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos(30^{\circ})\\\\ d^2=25+12-20\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\ d^2=37-30\\\\ d^2=7\\\\ d=\sqrt{7}$

Como os ângulos adjacentes de um paralelogramo são suplementares, o ângulo oposto à outra diagonal será 180º-30º=150º. Como o cosseno do ângulo suplementar de um ângulo qualquer é igual ao cosseno desse ângulo com o sinal invertido, temos que $\cos(150^{\circ})=-\cos(30^{\circ})$. Agora, usando a Lei dos Cossenos novamente, calcularemos a diagonal maior:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos(\alpha)\\\\ D^2=5^5+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos(150^{\circ})\\\\ D^2=25+12-20\sqrt{3}\cdot(-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\ D^2=37+30\\\\ D^2=67\\\\ D=\sqrt{67}$