Question

As integrais múltiplas são utilizadas largamente na engenharia, envolvendo as funções mais comuns do cálculo, como funções polinomiais e trigonométricas.
Abaixo estão representadas dois exemplos desses tipos de integral:

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Answer 1

Para calcular as integrais duplas, devemos primeiro calcular a integral de dentro, portanto, para a integral I1 com 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ 1, temos:

$I1 = \int\limits^\frac{\pi}{2} _0 \int\limits^1_0 {y.sen(x)} \, dy \, dx\\\int\limits^1_0 {y.sen(x)} \, dy = \dfrac{y^2}{2}.sen(x) |^1_0 = \dfrac{sen(x)}{2} \\\\\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 {\dfrac{sen(x)}{2} } \, dx = \dfrac{-cos(x)}{2} = \dfrac{-cos(\frac{\pi}{2})}{2} + \dfrac{cos(0)}{2} = \dfrac{1}{2}\\\\I1 =\dfrac{1}{2}$

Para I1 com 0 ≤ x ≤ π/3 e 0 ≤ y ≤ 1:

$I1 = \int\limits^\frac{\pi}{3} _0 \int\limits^1_0 {y.sen(x)} \, dy \, dx\\\int\limits^1_0 {y.sen(x)} \, dy = \dfrac{y^2}{2}.sen(x) |^1_0 = \dfrac{sen(x)}{2} \\\\\int\limits^\frac{\pi}{3} _0 {\dfrac{sen(x)}{2} } \, dx = \dfrac{-cos(x)}{2} = \dfrac{-cos(\frac{\pi}{3})}{2} + \dfrac{cos(0)}{2}\\\\I1 = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

Para I2 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1:

$I2 = \int\limits^1 _0 \int\limits^1_0 {x^2+y^2} \, dy \, dx\\\int\limits^1_0 {x^2+y^2} \, dy = x^2y + \dfrac{y^3}{3}|^1_0 = x^2 + \dfrac{1}{3} \\\\\int\limits^1 _0 {x^2+\dfrac{1}{3}} \, dx = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x}{3} |^1_0= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \\\\I2 = \dfrac{2}{3}$

Para I2 com -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1, como a integral de -1 a 1 equivale a duas vezes a integral de 0 a 1, basta multiplicar o resultado anterior por 4, então I2 = 8/3.

Apenas as 3 primeiras afirmações estão corretas, portanto a resposta é a alternativa 3.

Answer 2

Resposta:

Alternativa 3:

Apenas I, II e III.

Explicação passo-a-passo: