Question

as curvas definidas por f(x) =  F(x)=-3x^2+30x e g(x)=-3x+54 delimitam a região hachurada; Determine a area da regiao.

 

 

Obs. desculpem pelo desenho, mais assim eu espero que possam compreender melhor a equação, pois fiz um calculo e nao sei muito bem se esta correto.

Answer 1

Olá, Júnior.

As curvas definidas por $f(x) = -3x^2+30x$ e $g(x) = -3x+54$ delimitam a região hachurada.

Primeiramente, vamos identificar os valores de x onde as curvas se encontram:  

$-3x^2+30x-(-3x+54)=-3x^2+33x-54=0 \Leftrightarrow \\\\ x^2-11x+18=0 \Leftrightarrow x=2\text{ ou }x=9$

A área hachurada está, portanto, entre x = 2 e x = 9.

Como $x^2-11x+18$ é uma parábola com a concavidade voltada para cima, então, entre os valores x = 2 e x = 9, esta parábola assume valores negativos, ou seja, entre x = 2 e x = 9, temos:

$x^2-11x+18\leq 0\,\,\times(-3)\Rightarrow -3x^2+33x-54\geq 0\Rightarrow\\\\ -3x^2+30x-(-3x+54)\geq 0 \Rightarrow f(x)-g(x)\geq 0,x\in [2;9]$

A função a ser integrada, portanto, para encontrarmos a área hachurada no intervalo [2;9] é:

$f(x)-g(x)=-3x^2+30x-(-3x+54)=\\\\= -3x^2+33x-54=-3(x^2-11x+18)$

Integrando esta função em [2;9] temos:

$\int\limits_2^9 -3(x^2-11x+18)\,dx=-3(\frac13x^3|_2^9-11\cdot\frac12x^2|_2^9+18x|_2^9)=\\\\ =-3[\frac{9^3-2^3}3-11\cdot\frac{9^2-2^2}{2}+18\cdot(9-2)]=-3(\frac{721}3-\frac{847}2+126)=\\\\ =-721+1,5\cdot847-378=1270,5-1099=\boxed{171,5}$