Question

As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 52º. Se um deles mede 40º, qual é a medida do outro?

Answer 1

Há dois casos a considerar: os ângulos são adjacentes; os ângulos são não adjacentes.

Para o primeiro caso: marque um ponto $\mathsf{O}$, um ponto $\mathsf{A}$, trace a semirreta $\overrightarrow{\mathsf{OA}}$ (para uma melhor visualização, faça com que a semirreta seja horizontal); marque o ponto $\mathsf{B}$ e trace a semirreta $\overrightarrow{\mathsf{OB}}$ tal que o ângulo $\mathsf{A\^OB}$ formado pelas semirretas $\overrightarrow{\mathsf{OA}}$ e $\overrightarrow{\mathsf{OB}}$ meça 40°; marque o ponto $\mathsf{M}$ tal que a semirreta $\overrightarrow{\mathsf{OM}}$ seja bissetriz do ângulo $\mathsf{A\^OB}$.

A reta $\overleftrightarrow{\mathsf{OB}}$ divide o plano em dois semiplanos opostos (α' e α'') onde um deles contém o ponto $\mathsf{A}$ e o outro não.

Seja α' o semiplano que não contém o ponto $\mathsf{A}$, marque nesse plano o ponto $\mathsf{N}$ e trace a semirreta $\overrightarrow{\mathsf{ON}}$ tal que o ângulo $\mathsf{B\^ON}$ formado pelas semirretas $\overrightarrow{\mathsf{OB}}$ e $\overrightarrow{\mathsf{ON}}$ meça 32°.

Perceba agora o ângulo $\mathsf{M\^ON}$ formado pelas semirretas $\overrightarrow{\mathsf{OM}}$ e $\overrightarrow{\mathsf{ON}}$ vale 52°, ou seja, a semirreta $\overrightarrow{\mathsf{ON}}$ é bissetriz do ângulo adjacente a $\mathsf{A\^OB}$.

Logo o ângulo procurado é $2\cdot\mathsf{B\^ON}=2\cdot32^{\circ}=64^{\circ}$

Para o segundo caso: de modo análogo ao caso anterior marque os pontos $\mathsf{O}$, $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$, $\mathsf{M}$ e $\mathsf{N}$, trace as semirretas $\overrightarrow{\mathsf{OA}}$, $\overrightarrow{\mathsf{OB}}$, $\overrightarrow{\mathsf{OM}}$, $\overrightarrow{\mathsf{ON}}$, tais que $\mathsf{A\^OB}$ mede 40° e $\mathsf{B\^ON}$ mede 32°.

(A figura construída é a mesma)

Perceba, desta vez, que a semirreta $\overrightarrow{\mathsf{ON}}$ é, também, mediatriz do ângulo consecutivo mas não adjacente a $\mathsf{A\^OB}$.

Logo o ângulo procurado é $\mathsf{2\cdot A\^ON}=2\cdot 72^{\circ}=144^{\circ}$

$\noindent\rule{10cm}{0.4pt}$

Concluindo, o outro ângulo pode ser 64° ou 144°.