Question

As bases de um trapézio ABCD medem 10 cm e 25 cm e a altura mede 70 cm. Determinar a distância do ponto de intersecção das diagonais da base maior.

Answer 1

No trapézio dado, vamos considerar que a base AB é igual a 10 cm e a base CD é igual a 25 cm. Ao traçarmos as diagonais AC e BD, elas se encontram num ponto que vamos chamar de X.
Vamos agora considerar os triângulo ABX e CDX. A diagonal AC corta as retas que contém as base AB e CD, que são paralelas. Assim, os ângulos BAX e DCX são iguais, pois eles são alternos-internos com relação à diagonal AC e às retas que contém as duas bases. Da mesma maneira, os ângulo ABX e CDX também são iguais, pelo mesmo motivo (são alternos-internos). Também os ângulos AXB e CXD são iguais, pois são opostos pelo vértice. 
Então, os triângulos ABX e CDX são semelhantes, pois seus três ângulos são iguais. Se os triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais.
Se do ponto X traçarmos uma perpendicular às bases AB e CD dois dois triângulos, obteremos sobre as bases (ou sobre seus prolongamentos), os pontos M e N, de tal maneira que MX e NX serão as alturas dos triângulos ABX e CDX e, como tal, serão também proporcionais aos lados destes triângulos. (Apenas para facilitar a notação, vamos chamar MX de x e NX de y).
Assim, poderemos estabelecer as proporções que existem entre os elementos destes dois triângulos: 
lado/lado = altura/altura:
CD/AB = y/x (1)
Como sabemos que a soma de x com y é igual a 70, podemos escrever:
x + y = 70
y = 70 - x (2)
Vamos substituir em (1) o valor aqui obtido para y:
CD/AB = y/x
25/10 = 70-x/x
Multiplicando os meios pelos extremos da proporção, ficaremos com:
25x = 10(70-x)
25x = 700 - 10x
35x = 700
x = 700 ÷ 35
x = 20 cm
Substituindo em (2) o valor aqui obtido para x, teremos:
y = 70 - x
y = 70 - 20
y = 50 cm, distância do encontro das diagonais até a base maior CD