Matemática, perguntado por Lukyo, 3 meses atrás

(Aritmética: Congruência modular)

Seja N um número natural da forma

     N=a\,\underbrace{321\,321\cdots 321}_{3003~\mathrm{algarismos}}

sendo a o número formado pelo(s) algarismo(s) de ordem mais alta de N.

Calcule o menor valor de a de modo que N seja divisível por 13.

─────

Obs.: O número N é formado pelo(s) algarismo(s) de a, seguido pela repetição da sequência dos algarismos 321, até que o comprimento da sequência de algarismos repetidos totalize 3003 algarismos.​

Soluções para a tarefa

Respondido por gabrielcguimaraes
2

Como a sequência de 321's se repete até totalizar 3003 algarismos, há 1001 repetições destes 3 caracteres. Veja também que, ao tentar compor uma sequência de 321's com a soma de múltiplos de 13, há um padrão:

 260000

   52000

     9100

       130

         91

= 321321

Posso, portanto, escrever 321321 como soma de múltiplos de 13 sem que haja resto para a próxima sequência. Isso significa também que posso escrever como múltiplos de 13 as primeiras 1000 das 1001 sequências. Portanto garanto que:

a321... e o restante dos números é múltiplo de 13. Agora basta encontrar o menor valor de a que faça que a321 seja múltiplo de 13:

 9100

   130

     91

= 9321

Portanto o menor valor de a que satisfaz as condições é 9.


Lukyo: A congruência é mantida se somar ou subtrair qualquer múltiplo de 13
Lukyo: A propriedade (iv) do outro exercício
Lukyo: Não se preocupe quanto a isso.
Lukyo: Tem uma de contagem (combinatória) no meu perfil, não exatamente probabilidade.
Lukyo: https://brainly.com.br/tarefa/53112392
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