Question

Ao tomar contato com uma doença incurável uma única vez, uma pessoa possui
10% de probabilidade de contraí-la. Ao tomar contato com essa doença três vezes
consecutivas, a probabilidade de contrai-la é de?

Inclua uma resposta com explicação, por favor

Resposta: 27,1%

Answer 1

$P_{(n)_{(r_1, \ r_2, \ ... \ , \ r_x )}} \ = \ \frac{n!}{r_1 ! \ \cdot \ r_2 ! \ ... \ \cdot \ r_x!}$

$Esta \ \'e \ a \ permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ com \ [r_1, \ r_2, \ ... \ , r_x] \ elementos \ repetidos.$

$Sejam \ \bold{d} \ e \ \bold{s} \ as \ nota\c{c}\~oes \ para \ doente \ e \ sadio, \ respectivamente.$

$H\'a \ tr\^es \ possibilidades \ \longrightarrow$

$Primeiro \ caso \ \Rightarrow \ O \ indiv\'iduo \ pega \ a \ doen\c{c}a \ as \ 3 \ vezes.$

$Cada \ vez \ tem \ 10\% \ de \ chance. \ Juntando \ tudo, \ temos \ \rightarrow \\ \\ 10\% \ \cdot \ 10\% \ \cdot 10\% \ \rightarrow \ (10\%)^3 \ \rightarrow \ (0,1)^3 \ = \ 0,001.$

$Al\'em \ disso, \ vamos \ cuidar \ das \ ordena\c{c}\~oes \ dos \ ocorridos. \\ \\ Usando \ aquelas \ nota\c{c}~oes \ designadas, \ \'e \ como \ se \ tivessemos \ que \\ permutar \ aqueles \ \bold{d,d,d} \ (s\~ao \ 3 \ ocorr\^encias \ de \ doen\c{c}a \ \rightarrow \ 3 \ d's). \\ \\ Vamos \ permutar \ esses \ 3 \ elementos \ (n \ = \ 3), \ mas \ veja \ que \ eles \\ s\~ ao, \ na \ verdade, \ 3 \ repeti\c{c}\~oes \ do \ mesmo \ evento. \ Logo, \ temos \ \rightarrow$

$P_{(3)_{(3)}} \ = \ \frac{3!}{3!} \ = \ 1$

$Do \ princ\'ipio \ multiplicativo \ \rightarrow \\ \\ 0,001 \ \cdot \ 1 \ = \ \boxed{0,001}$

$Segundo \ caso \ \Rightarrow \ O \ indiv\'iduo \ pega \ a \ doen\c{c}a \ 's\'o' \ 2 \ vezes.$

$Obviamente, \ se \ h\'a \ 10\% \ de \ contrair, \ h\'a \ (100\% \ - \ 10\%) \ = \ 90\% \\ de \ n\~ao \ contrair \ (eventos \ 'opostos').$

$O \ indiv\'iduo \ pega \ a \ doen\c{c}a \ 2 \ vezes \ (10\%) \ e \ n\~ao \ pega \ 1 \ vez \ (90\%).$

$10\% \ \cdot \ 10\% \ \cdot \ 90\% \ = \ 0,009$

$Nas \ ordena\c{c}\~oes, \ agora \ temos \ que \ permutar \ 3 \ eventos, \ sendo \\ 2 \ do \ 'tipo' \ d \ e \ 1 \ do \ tipo \ s. \\ Ou \ seja, \ temos \ 2 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ d \ e \ nenhuma \ de \ s. \\ \\ \frac{3!}{2!} \ = \ 3$

$Temos \ ent\~ao \ \rightarrow \\ \\ 0,009 \ \cdot \ 3 \ = \ \boxed{0,027}$

$Terceiro \ caso \ \Rightarrow \ O \ indiv\'iduo \ pega \ a \ doen\c{c}a \ 's\'o' \ 1 \ vez.$

$Temos \ dois \ casos \ de \ sa\'ude \ e \ um \ de \ doen\c{c}a. \\ \\ 90\% \ \cdot \ 90\% \ \cdot \ 10\% \ = \ 0,081$

$Nas \ ordena\c{c}\~oes, \ agora \ vamos \ permutar \ 3 \ eventos, \ sendo \\ 1 \ do \ 'tipo' \ d \ e \ 2 \ do \ tipo \ s. \\ Ou \ seja, \ temos \ 2 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ s \ e \ nenhuma \ de \ d. \\ \\ \frac{3!}{2!} \ = \ 3$

$Juntando \ isso \ \rightarrow \ \\ \\ 0,081 \ \cdot \ 3 \ = \ \boxed{0,243}$

$As \ tr\^es \ possibilidades \ s\~ao \ independentes \ entre \ si, \ ou \ seja, \\ \bold{'regra \ do \ OU'} \ \rightarrow \\ \\ 0,001 \ + \ 0,027 \ + \ 0,243 \ \rightarrow \ 0,271 \ \Rightarrow \ \boxed{\boxed{27,1\% \ de \ possibilidade}}$