Question

UP - Depois de alguns estudos, uma empresa observou que poderia apresentar seus
produtos em embalagens mais baratas que a utilizada até então. A embalagem
utilizada era um cubo de aresta x, enquanto a nova embalagem é obtida a partir da
secção em anexo.
(Use raiz de 6 = 2,45 )

O valor que mais se aproxima da redução do papel a ser utilizado na nova embalagem
em comparação à anterior é:

Inclua uma resposta com explicação, por favor

Resposta: 30%

Answer 1

$No \ primeiro \ anexo, \ fiz \  ABCDEFGH.$

$Seja \ \bold{l} \ o \ lado \ do \ cubo. \\ \\ Veja \ o \ \Delta \ BDH.$

$Sabe-se \ que \ s\~ao \ proje\c{c}\~oes  : \\ \\ \rightarrow \ AE; etc$

$Logo, \ DH \ \perp \ plano \ de \ ABCD. \\ \Delta \ BDH \ \'e \ ret\^angulo.$

$DB \ \'e \ diagonal : \\ \\ DB \ = \ \underbrace{l \ \cdot \ \sqrt{2}}_{rela\c{c}\~ao \ comum}$

$BH^2 \ = \ BD^2 \ + \ DH^2 \rightarrow \\ \\ BH^2 \ = \ (l \ \cdot \ \sqrt{2})^2 \ + \ l^2 \rightarrow \\ \\ \boxed{\underbrace{BH \ = \ l \ \cdot \ \sqrt{3}}_{diagonal \ do \ cubo}}$

$A \ diagonal \ do \ cubo \ \'e \ outra \ rela\c{c}\~ao \ comum, \\ mas \ achei \ melhor \ rev\^e  \ - \ la.$

$Vamos \ supor \ que \ M \ e \ N \ sejam \ pontos \ m\'edios.  \\ M \ = \ N \ = \ \frac{l}{2}$

$Em \ ABCD, \ \AB \ \perp \ AN. \\ \\ NB^2 \ = \ AB^2 \ + \ AM^2 \\ \\ NB^2 \ = \ l^2 \ + \ \( \frac{l}{2} \)^2 \\ \\ NB^2 \ = \ l^2 \ + \ \frac{l^2}{4} \\ \\ NB^2 \ = \ \frac{4 \ \cdot \ l^2 \ + \ l^2}{4} \\ \\ NB^2 \ = \ \frac{5 \ \cdot \ l^2}{4} \\ \\ \boxed{NB \ = \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{2}}$

$Mas \ AB \ = \ AE \ = \ BC \ = BF... \ etc. \\ \\ Por \ isso\ essa \ rela\c{c}\~ao \ \'e \ v\'alida \ em \ todas \ as \ faces \ e : \\ \\ \boxed{BN \ = \ BM \ = \ MH \ = \ HN \ = \frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{2}}$

$Veja \ que \ BMHN \ tem \ seus \ lados \ iguais \\ \, \ e, \ por \ isso, \\ \ BH \ divide \ - \ o \ em \ 2 \ \Delta \ ' s \ =.$

$A \ \'area, \ pois, \ \'e : \\ \\ A_{(BMHN)} \ = \ \underbrace{A_{(BHN)} \ + \ A_{(BHM)}}_{\Delta \ 's \ iguais}$

$\boxed{A_{(BMHN)} \ = \ 2 \ \cdot \ A_{(BHN)}}$

$Lei \ do \ cos \ para \ o \ B\widehat{N}H \ \longrightarrow \\ \\ BH^2 \ = \ BN^2 \ + \ NH^2 \ - \ 2 \ \cdot \ BN \ \cdot \ NH \ \ \cdot \ cos(B\widehat{N}H) \\ \\ (l \ \cdot \ \sqrt{3})^2 \ = \ (\frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{2})^2 \ + \ (\frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{2})^2 \ - \ \not{2} \ \cdot \ (\frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{\not{2}}) \ \cdot \ (\frac{l \ \cdot \ \sqrt{5}}{2}) \ \cdot \ cos(B\widehat{N}H)$


$\boxed{cos(B\widehat{N}H) \ = \ \frac{-1}{5}}$

$sen(B\widehat{N}H)^2 \ + \cos(B\widehat{N}H)^2 \ = \ 1 \\ \\ sen(B\widehat{N}H)^2 \ + \ (\frac{-1}{5})^2 \ = \ 1 \\ \\ \boxed{sen(B\widehat{N}H) \ = \ + \frac{2 \ \cdot \ \sqrt{6}}{5}}$

$(\frac{\pi}{2} \ \ \textless \ \ B\widehat{N}H \ \ \textless \ \ \pi) \ \longrightarrow \ \\ BMHN \ n\~ao \ tem \ lados \ \perp \ !$

$A_{(BMHN)} \ = \ 2 \ \cdot \ A_{(BNH)} \\ \\ A_{(BMHN)} \ = \ \not{2} \ \cdot \ \frac{BN \ \cdot \ NH \ \cdot \ \underbrace{sen(B\widehat{N}H)}_{\^angulo \ entre \ BN \ e \ NH}}{\not{2}} \\ \\ \\ A_{(BMHN)} \ = \ \frac{l \ \not{\sqrt{5}}}{\not{2}} \ \cdot \ \frac{l \ \not{\sqrt{5}}}{2} \ \cdot \ \frac{\not{2} \ \cdot \ \sqrt{6}}{\not{5}} \\ \\ \boxed{ A_{(BMHN)} \ = \ \frac{l \ \cdot \ \sqrt{6}}{2}}$

$A \ \'area \ antes \ da \ redu\c{c}\~ao \ \'e \ a \  total \ A_t \ do \ cubo. \\ (6 \ faces \ quadradas)\ \longrightarrow \\ \\ \boxed{A_t \ = \ 6 \ \cdot \ l^2}$

$A \ nova \ \'area \ ganhar\'a \ A_{(BMHN)}, s\'o \ que \ perder\'a \ as \ \'areas \rightarrow$

$\rightarrow \ EFGH, \ BFEN,  BFMG, MGH,  \ NEH... \\ \\ No \ terceiro \ anexo, \ destaquei \ algumas \ \'areas. \\ Mas \ BFEN \ = \ BFMG \ e \ MGH \ = \ NEH. \\ \\ A \ \'area \ perdida \ \'e \rightarrow \\ \\ A_{(per)} \ = \ EFGH \ + \ BFEN \ + \ BFMG \ + \ MGH \ + \ NEH \ \rightarrow \\ \\ \boxed{A_{(per)} \ = \ EFGH \ + \ 2 \ \cdot \ BFEN \ + \ 2 \ \cdot \ MGH}$

$EFGH \ \rightarrow \ Quadrado \ \rightarrow \\ \\ A_{(EFGH)} \ = \ l^2; \\ \\ MGH \ \rightarrow \ \Delta  \ de \ lados \ \perp \ MG \ = \frac{l}{2} \ e \ GH \ = \ l \ \rightarrow \\ \\ A_{(MGH)} \ = \ \frac{\frac{l}{2} \ \cdot \ l}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(MGH)} \ = \ \frac{l^2}{4} \\ \\ BFEN \ \rightarrow \ Trap\'ezio \ de \ bases \ BF \ (l) \ e \ EN \ (\frac{l}{2})\ e \ EF \ (l) \rightarrow$

$A_{(BFEN)} \ = \ \frac{(l \ + \ \frac{l}{2}) \ \cdot \ l}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(BFEN)} \ = \ \frac{3 \ \cdot \ l^2}{4}$

$A_{(per)} \ = \ EFGH \ + \ 2 \ \cdot \ BFEN \ + \ 2 \ \cdot \ MGH \\ \\ A_{(per)} \ = \ l^2 \ + \ 2 \ \cdot \ \frac{3 \ \cdot \ l^2}{4} \ + \ 2 \ \cdot \ \frac{l^2}{4} \\ \\ \boxed{A_{(per)} \ = \ 3 \ \cdot \ l^2}$

$A \ \'area \ resultante \ (A_{(res)}) \ \'e \longrightarrow \\ \\ A_{(res)} \ = \ A_t \ + \ A_{(BMHN)} \ - \ A_{(per)} \\ \\ A_{(res)} \ = \ 6 \ \cdot \ l^2 \ + \ \frac{l^2 \ \cdot \ \sqrt{6}}{2} \ - \ 3 \ \cdot \ l^2 \ \rightarrow \ \sqrt{6} \ \approx \ 2,45 : \\ \\ \boxed{A_{(res)} \ = \ 4,225 \ \cdot \ l^2}$

$\frac{A_{(res)}}{A_{(t)}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{4,225 \ \cdot \ \not{l^2}}{6 \ \cdot \ \not{l^2}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\approx \ 70,4\%}$

$Redu\c{c}\~ao \ \longrightarrow \\ \\ 29,6\% \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\approx \ 30\%}}$