Question

Ao ser perguntado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu: “Quando passaram 2 carros de passeio, 3 ônibus e 3 caminhões, arrecadou-se a quantia de R$ 42,00; quando passaram 1 carro de passeio, 2 ônibus e 5 caminhões a quantia arrecadada foi de R$ 48,00, e quando passaram 6 carros de passeio, 1 ônibus e 4 caminhões arrecadou-se a quantia de R$ 51,00”. Qual foi o valor do pedágio para cada veículo citado?

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Primeiro vamos estipular que:

Carros → X;

Ônibus → Y;

Caminhões → Z.

Temos o seguinte sistema:

$\begin{cases} 2x+3y + 3z = 42 \\ x + 2y + 5z = 48 \\ 6x + y + 4z =51 \end{cases}$

Vamos resolver através do método do escalonamento:

Primeiro ciclo:

Para resolver através desse método vamos fixar a primeira equação. (2x + 3y + 3z = 42). Agora vamos multiplicar a segunda por um número que nos permita cancelar a incógnita "x", certamente esse número é (-2):

$2x + 3y + 3z = 42 \\ x + 2y + 5z = 48.( - 2) \\ \\ \cancel{2x} + 3y + 3z = 42 \\ \cancel{ - 2x} - 4y - 10z = - 96 \\ \boxed{ - y - 7z = - 54}$

Temos então a nova equação ↑, organizando o sistema:

$\begin{cases} 2x + 3y + 3z = 42 \\ - y -7z = - 54 \\ 6x + y + 4z = 51\end{cases}$

Agora teremos que fazer a mesma coisa com a terceira equação, ou seja, vamos fazer o "x" sumir, para isso vamos multiplicar a primeira equação por -3.

$2x + 3y + 3z = 42.( - 3) \\ 6x + y + 4z = 51 \\ \\ \cancel- 6x - 9y - 9z = - 126 \\ \cancel6x + y + 4z = 51 \\ \\ \boxed{ - 8y - 5z = - 75}$

Organizando o sistema:

$\begin{cases} 2x + 3y + 3z = 42 \\ - y -7z = - 54 \\ - 8y - 5z = - 75\end{cases}$

Segundo ciclo:

Tendo feito isso tudo, teremos que fixar a segunda equação e fazer com que o "y" seja cancelado, para isso vamos multiplicar a segunda equação por (-8):

$- y - 7z = - 54.( -8) \\ - 8y - 5z = - 75 \\ \\ \cancel{ 8y} + 56z = 432 \\ \cancel{- 8y} - 5z = - 75 \\ \\ 51z = 357$

Organizando o sistema:

$\begin{cases}2x + 3y + 3z = 42 \\ - y - 7z = - 54 \\ 51z = 357 \end{cases}$

Terceiro ciclo:

Agora podemos vamos resolver cada um dessas equações, começando com "z".

$51z = 357 \\ z = \frac{357}{51} \\ \boxed{ x = 7}$

Substituindo o valor de "z" na segunda:

$- y - 7z = - 54 \\ - y - 7.(7) = - 54 \\ - y - 49 = - 54 \\ - y = - 54 + 49 \\ - y = - 5.( - 1) \\ \boxed{y = 5}$

Substituindo o valor de "y" e "z" na primeira equação:

$2x + 3y + 3z = 42 \\ 2x + 3.5 + 3.7 = 42 \\ 2x + 15 + 21 = 42 \\ 2x + 36 = 42 \\ 2x = 42 - 36 \\ 2x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ \boxed{x = 3}$

Podemos dizer então que:

Carros pagam 3,00 reais;

Ônibus pagam 5,00 reais;

Caminhões pagam 7,00 reais.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️