Question

Ao nível do mar, um mergulhador é submetido, como todos nos, à pressão de 1 atm. A cada 10 metros de profundidade a pressão aumenta de 1 atm. Se esse mergulhador submergir 20 metros, à velocidade constante de 10 metros por minuto, e lá permanecer por 3 minutos e, em seguida, voltar a tona à mesma velocidade de decida. Obtenha a expressão que determina a pressão sofrida pelo mergulhar em função do tempo, desde o instante em que submergiu até voltar á superfície novamente.

Answer 1

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•   pressão na superfície:   $\mathsf{p_0=1~atm;}$

•   profundidade máxima:   $\mathsf{x_{max}=20~m;}$

•   velocidade de imersão (constante):   $\mathsf{v_s=+10~m/min;}$

•   velocidade de emersão (constante):   $\mathsf{v_e=-10~m/min;}$

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Este problema envolve a modelagem de uma função composta.

•   A pressão $\mathsf{p}$ (em atm) é uma função da profundidade $\mathsf{x}$ (em metros)

•   A profundidade $\mathsf{x}$ (em metros) é função do instante $\mathsf{t}$  (em minutos).

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•   Modelando a lei da função profundidade versus tempo:

    A função é linear, pois o mergulhador desce a uma taxa (velocidade) constante $\mathsf{v_s}.$

    No instante inicial, o mergulhador está na superfície:   $\mathsf{x(0)=0};$

    Quanto tempo ele demora para chegar à profundidade máxima?

   (tempo de submersão)

   $\mathsf{t_s=\dfrac{x_{max}}{v_s}}\\\\\\ \mathsf{t_s=\dfrac{20~m}{10~\frac{m}{min}}}\\\\\\ \mathsf{t_s=2~min\qquad\quad\checkmark}$


Portanto, no intervalo $\mathsf{0\le t\le 2},$ a profundidade é dada por

$\mathsf{x(t)=x(0)+v_s\cdot t}\\\\ \mathsf{x(t)=0+10\cdot t}\\\\ \mathsf{x(t)=10t\qquad\quad\checkmark}$

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Durante os próximos 3 minutos, a profundidade é mantida constante em 20 metros.

Portanto, no intervalo $\mathsf{2< t\le 5},$ a profundidade é constante, dada por

$\mathsf{x(t)=20}\qquad\quad\checkmark$

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Por fim, o mergulhador volta à tona à mesma velocidade a que ele havia submergido. Logo, o tempo que ele demora para emergir também é igual a 2 minutos.

Nos próximos 2 minutos, isto é, para $\mathsf{5<t\le 7},$ a profundidade é dada por

$\mathsf{x(t)=x(5)+v_e\cdot (t-5)}\\\\ \mathsf{x(t)=20-10(t-5)}\\\\ \mathsf{x(t)=20-10t+50}\\\\ \mathsf{x(t)=70-10t}$


Em resumo, a profundidade em função do tempo é dada por

$\mathsf{x(t)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{10t,}&\quad\mathsf{para~0\le t\le 2}\\\\ \mathsf{20,}&\quad\mathsf{para~2<t\le 5}\\\\ \mathsf{70-10t,}&\quad\mathsf{para~5<t\le 7} \end{array} \right.$

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•   Modelando a lei da função pressão versus profundidade:

Se a cada 10 metros a pressão aumenta em 1 atm, temos então que

$\mathsf{p(x)=p_0+\dfrac{x}{10}}\\\\\\ \mathsf{p(x)=1+\dfrac{x}{10}}$

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Enxergando a pressão como uma função composta, temos

$\mathsf{p\big[x(t)\big]=1+\dfrac{x(t)}{10}}\\\\\\ \mathsf{p\big[x(t)\big]=1+\dfrac{1}{10}\cdot }\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{10t,}&\quad\mathsf{para~0\le t\le 2}\\ \mathsf{20,}&\quad\mathsf{para~2<t\le 5}\\ \mathsf{70-10t,}&\quad\mathsf{para~5<t\le 7} \end{array} \right.\\\\\\\\ \mathsf{p\big[x(t)\big]}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{1+\dfrac{10t}{10},}&\quad\mathsf{para~0\le t\le 2}\\\\\mathsf{1+\dfrac{20}{10},}&\quad\mathsf{para~2<t\le 5}\\\\ \mathsf{1+\dfrac{70-10t}{10},}&\quad\mathsf{para~5<t\le 7} \end{array} \right.$


$\mathsf{p\big[x(t)\big]}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{1+t,}&\quad\mathsf{para~0\le t\le 2}\\\\\mathsf{1+2,}&\quad\mathsf{para~2<t\le 5}\\\\ \mathsf{1+(7-t),}&\quad\mathsf{para~5<t\le 7} \end{array} \right.\\\\\\\\ \mathsf{p\big[x(t)\big]}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{1+t,}&\quad\mathsf{para~0\le t\le 2}\\\\\mathsf{3,}&\quad\mathsf{para~2<t\le 5}\\\\ \mathsf{8-t,}&\quad\mathsf{para~5<t\le 7} \end{array} \right.$


Chamando a função acima por outro nome, digamos $\mathsf{P(t),}$ finalmente temos a pressão $\mathsf{P}$ em função do tempo:

$\mathsf{P(t)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{1+t,}&\quad\mathsf{para~0\le t\le 2}\\\\\mathsf{3,}&\quad\mathsf{para~2<t\le 5}\\\\ \mathsf{8-t,}&\quad\mathsf{para~5<t\le 7} \end{array} \right.\qquad\qquad\checkmark$


$\mathsf{P}$ em atm, e $\mathsf{t}$ em minutos.


Bons estudos! :-)