Question

Anna Cecilia estava arrumando uma certa quantidade de livros de matemática, física e química em uma estante. Márcia estava de passagem e lhe perguntou quantos livros de cada matéria havia. Anna Cecilia respondeu da seguinte forma:


- Se eu pegar os livros de matemática, mais o dobro de livros de física e retirar os de química, fico com 12 livros.
- Se eu pegar o dobro de livros de matemática, mais o triplo de livros de química e retirar os de física, fico com 34 livros.
- Se eu pegar o triplo de livros de matemática, mais o triplo de livros de física e retirar o dobro de livros de química, fico com 30 livros.

Determine a quantidade de livros que Anna Cecília possui de cada matéria.

Answer 1

Resposta:

Solução:

Livros de matemática → x;

Livros de física → y;

Livros de química → z

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y -z = 12 \\ \sf 2x - y + 3z = 34 \\ \sf 3x + 3y -2z = 30 \end{cases}$

Multiplique por (- 2) a primeira equação e subtraia esse resultado da segunda equação:

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y -z = 12 \\ \sf 2x - y + 3z =34 \\ \sf 3x + 3y -2z = 30 \end{cases} \Leftarrow [(-2)] \Rightarrow \sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y - z =12 \\ \sf \quad -5y+ 5z = 10 \\ \sf 3x +3y -2z = 30 \end{cases}$

Multiplique por (- 3 ) a primeira  equação e subtraia esse resultado da terceira equação:

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y -z = 12 \\ \sf 2x - y + 3z =34 \\ \sf 3x + 3y -2z = 30 \end{cases} \Leftarrow [(-3)] \Rightarrow \sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y - z =12 \\ \sf \quad -5y+ 5z = 10 \\ \sf \quad -3y + z = -6 \end{cases}$

Multiplicar a terceira por ( -1 ).

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y -z = 12 \\ \sf 2x - y + 3z =34 \\ \sf 3x + 3y -2z = 30 \end{cases} \Leftarrow [(-1)] \Rightarrow \sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y - z =12 \\ \sf \quad -5y+ 5z = 10 \\ \sf \quad -3y + z = -6 \end{cases}$

Multiplique por ( 3 ) a segunda e a terceira por ( -5 ):

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y -z = 12 \\ \sf 2x - y + 3z =34 \\ \sf 3x + 3y -2z = 30 \end{cases} \Rightarrow \sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y - z =12 \\ \sf \quad - 15y+ 15z = 30 \\ \sf \quad 15y - 5z = 30 \end{cases}$

Somar a segunda com a terceira:

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y -z = 12 \\ \sf 2x - y + 3z =34 \\ \sf 3x + 3y -2z = 30 \end{cases} \Rightarrow \sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y - z =12 \\ \sf \quad - 15y+ 15z = 30 \\ \sf \quad \quad 10z = 60 \end{cases}$

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y -z = 12 \\ \sf 2x - y + 3z =34 \\ \sf 3x + 3y -2z = 30 \end{cases} \Rightarrow \sf \displaystyle \begin{cases} \sf x + 2y - z =12 \\ \sf \quad - 15y+ 15z = 30 \\ \sf \quad \quad \quad \quad \quad z = 6 \end{cases}$

Determinar o valor de y:

$\sf \displaystyle \sf -5y +15 z = 10 \Rightarrow \sf-5y +15 \cdot 3 = 10 \Rightarrow \sf -5y +90 = 30$

$\sf \displaystyle \sf -5y = 30 - 90 \Rightarrow \sf -5y = - 60 \Rightarrow \sf y = 4$

Determinar o valor de x:

$\sf \displaystyle \sf x + 2y -z = 12 \Rightarrow \sf x + 2 \cdot 4 - 6 = 12$

$\sf \displaystyle \sf x+ 8 - 6 = 12 \Rightarrow \sf x +2 = 12 \Rightarrow \sf x = 12 - 2$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle \sf x = 10 }$

A quantidade de livros que Anna Cecília possui de cada matéria é:

Matemática → 10 livros;

Física →  4 livros;

Química → 6 livros.

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

Matemática = 10 livros

Física = 4 livros

Química = 6 livros

Explicação passo-a-passo:

os livros de matemática, mais o dobro de livros de física e retirar os de química, fico com 12 livros.

M + 2 F - Q = 12

o dobro de livros de matemática, mais o triplo de livros de química e retirar os de física, fico com 34 livros.

2 M - F + 3 Q = 34

o triplo de livros de matemática, mais o triplo de livros de física e retirar o dobro de livros de química, fico com 30 livros.

3 M + 3 F - 2 Q = 30

SE JUNTARMOS AS EXPRESSÕES, TEREMOS UM SISTEMA DE 3 EQUAÇÕES.

$\begin{bmatrix}M + 2 F - Q = 12\\ 2 M - F + 3 Q = 34\\3 M + 3 F - 2 Q = 30\end{bmatrix}$

Com os coeficientes montamos um determinante de ordem 3.

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&-1&3\\3&3&-2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}12\\34\\30\end{array}\right]$

Determinante principal:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&-1&3\\3&3&-2\\1&2&-1\\2&-1&3\end{array}\right] = 2 - 6+18 -3-9+8 = 28 - 18 = 10$

DM

$DM=\left[\begin{array}{ccc}12&2&-1\\34&-1&3\\30&3&-2\\12&2&-1\\34&-1&3\end{array}\right] =24- 102+180-30-108+136 = 100\\\\M = \frac{DM}{D} = \frac{100}{10} = 10$

DF

$DF = \left[\begin{array}{ccc}1&12&-1\\2&34&3\\3&30&-2\\ 1&12&-1\\2&34&3\end{array}\right] = - 68 - 60+108+102-90+48 = 40\\\\F = \frac{DF}{D} = \frac{40}{10} = 4$

Q

M + 2 F - Q = 12

10 + 8 - Q = 12

Q = 18 - 12

Q = 6