Question

[Análise Combinatória] Dispondo de cinco cores distintas, uma pessoa pretende pintar as letras da palavra FATEC de acordo com os seguintes critérios:
* na palavra, letras que são equidistantes da letra T terão a mesma cor;
* letras adjacentes serão pintadas de cores distintas, e
* cada letra será pintada com uma única cor.

O número de modos distintos de se realizar essa pintura é
(A) 120.
(B) 90.
(C) 80.
(D) 50.
(E) 40.

Answer 1

=> Temos a palavra "FATEC" com 5 letras ...logo uma letra central "T"

=> Cores disponíveis 5 cores

=> Restrições:

..letras que são equidistantes da letra T terão a mesma cor;

..letras adjacentes serão pintadas de cores distintas,

..cada letra será pintada com uma única cor.


Nota Prévia Importante:

Há uma incompatibilidade entre restrições:

..Veja que ""..letras que são equidistantes da letra T terão a mesma cor.."" ..ou seja ("F e C") e ("A e E") tem de ter a mesma cor ...MAS a última restrição diz que ""... cada letra será pintada com uma única cor. ...tornando impossível a aplicação da 1ª restrição.

Vou resolver considerando que as letras equidistantes "funcionam" como UMA ÚNICA letra e assim podem ter a mesma cor

Assim vamos considerar que a letra central (T) é pintada por uma das 5 cores qualquer que ela seja, donde resulta:

|_|_|T|_|_| <--- 1 cor

..restam para as letras F e C ..4 possibilidades de cor (todas menos a escolhida para "A e E" ...pois pode repetir a cor de "T")

..restam para as letras "A e E" ..4 possibilidades de escolha (todas menos as escolhidas para T) 

Mas note que a letra T como a 1ª a ser escolhida tem um total de 5 possibilidades de escolha  

Assim o número (N) de modos distintos será dado por:

N = 5 . 4 . 4 = 80 modos distintos

Resposta correta: Opção C) 80 modos distintos


Espero ter ajudado