Question

Analisando a força gravitacional entre a Terra e um corpo em sua superfície, calcule a aceleração gravitacional de um corpo em queda livre que caia inicialmente de uma altura h. a) Considere que esta altura é muito pequena se comparada ao raio da Terra, que é da ordem de mais de 6000km. Faça um modelo simples desconsiderando a rotação da Terra e use o valor da constante de gravitação G. Expresse g em termos da altura de queda e estime as condições quando g é, aproximadamente, constante. b) Considerando o modelo desenvolvido no item a) responda: quais são as principais conclusões que você extrai a partir dele? Discuta também quais são as limitações, como altura etc.

Answer 1

O modelo simples da aceleração da gravidade é: g = (GM)/r^2 (para g aproximadamente constante). E, caso contrário, temos g=GM/(r+h)^2.

Para entender melhor o desenvolvimento, precisamos saber o que é a aceleração da gravidade e como calculá-la.

O que é aceleração da gravidade?

A aceleração da gravidade (g) é uma medida da variação da velocidade que é exercida em todos os corpos em direção ao centro da Terra. De acordo com a segunda lei de Newton, é o componente vetorial que tem sua ponderação na massa de um corpo produz uma força resultante ao centro do corpo celeste (planeta terra), sendo este de massa muito maior.

A lei da gravitação universal calcula a força resultante entre dois corpos de massas m1 e m2 a uma distância d. Assim, temos:

$F=\frac{G.m1.m2}{d^2}$

Onde:

• G: constante de gravitação universal. G = 6,671*10^(-11) m³/kgs²
• m1: massa do corpo 1 em kg
• m2: massa do corpo 2 em kg
• d: distância entre os corpos em m
• F: força resultante de atração gravitacional em N

Fórmula da aceleração da gravidade

Para determinarmos a aceleração da gravidade em função da constante de gravitação universal G num corpo celeste de massa M, temos que a massa do objeto é bem inferior à massa M, portanto ela é considerada desprezível para os efeitos de cálculo.

Como a segunda lei de Newton é F = ma, temos:

$F=\frac{G.m1.m2}{d^2}=\frac{G.M.m}{d^2}=m.a\Rightarrow\\\\\Rightarrow \frac{G.M}{d^2}=a\\\\\Rightarrow g=\frac{G.M}{d^2}$

Solucionando as alternativas:

a)  $g(h)=\frac{G.M}{(r+h)^2}=\frac{G.M}{(6000+h)^2}$

Para uma alteração superior a 5%, ou seja, g1 = 0,95g, na aceleração da gravidade (cujo valor aproximado é 9,8m/s²), temos:

$g=\frac{G.M}{(6000000)^2} \\g1=\frac{G.M}{(6000000+h)^2}=0,95g\\\\\frac{G.M}{(6000000+h)^2}=0,95\frac{G.M}{(6000000)^2}\\\\\frac{1}{(6000000+h)^2}=\frac{0,95}{(6000000)^2}\\\\\frac{(6000000)^2}{0,99}=(6000000+h)^2\\\\36.363.636,363=6000000^2+2*6000000*h+h^2\\\\h^2+12000000*h-363636,36=0$

Portanto, a altura máxima onde a gravidade é aproximadamente constante é 30226,89m, pois acima desse ponto a variação que a força de gravidade sofre é maior que 1%.

b) As conclusões sobre a aceleração da gravidade é que a maneira correta (não aproximada) dos cálculos que a envolvem passa a ser significativa em regiões de altitudes diferentes, em especial para aplicações aeroespaciais.

Podemos dizer que alturas menores que 30 km, a aceleração da gravidade pode ser considerada constante. O que deixa de ser verdade para o projeto de satélites de baixa órbita, como aqueles do projeto Starlink (órbita de 550km) para internet.

Para saber mais da influência da aceleração da gravidade sobre corpos em queda livre, veja aqui: https://brainly.com.br/tarefa/51046589

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