Question

Algumas propriedades dos números complexos podem ser verificadas de maneira imediata a partir das definições que compõem o conjunto. Outras, no entanto, demandam manipulações algébricas envolvendo a aplicação de resultados mais elementares. Para as seguintes relações entre números complexos, marque V para verdadeiro e F para falso: ( ) | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |. ​​​​​​​( ) | z1 | + | z2 | < | z1 − z2 |. ( ) | z1 + z2 | < | z1 | − | z2 |. ( ) || z1 | − | z2 || ≤ | z1 + z2 |. Feito isso, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de preenchimento das lacunas.

Answer 1

Resposta:

a resposta é a alternativa D

Explicação passo a passo:

a alternativa D conteve a resposta. V - F - F - V

Answer 2

Resposta:

O módulo |z| de um número complexo z = a+b*i, sendo i o número imaginário ($\sqrt{-1}$), é dado pela aplicação do Teorema de Pitágoras. Realizando as manipulações algébricas necessárias, obtemos:

(V) | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |. ​​​​​​​

(F) | z1 | + | z2 | < | z1 − z2 |.

(F) | z1 + z2 | < | z1 | − | z2 |.

(V) || z1 | − | z2 || ≤ | z1 + z2 |.

O que é um número complexo?

São os números compostos por uma parte real e uma parte imaginária, normalmente representado por:

• z = a+b*i,

Onde:

• z = número complexo.
• a = parte real.
• b = parte imaginária.
• i = número imaginário = ($\sqrt{-1}$) .

Como representar o número complexo?

Uma das maneiras de visualizar o número complexo z = a+b*i é através da representação geométrica, onde

• valor a no eixo "x" - eixo real.
• valor b no eixo "y" - eixo imaginário.

O que é o módulo de um número complexo?

Representado por |z|, é a distância do vetor obtido com a representação geométrica da sua origem (0,0).

Conforme observado na imagem, |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo formado. Portanto:

• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Como analisar as relações do enunciado?

Sabemos que dado z:

• z = a+i*b
• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Para a primeira relação   | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |

Devemos levar em consideração a desigualdade triangular, que nos diz que:

• Em um triângulo, o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados.

Portanto,  | z1 + z2 | é menor que |z1| + |z2|.

Alternativa A é verdadeira

Para a segunda relação | z1 | + | z2 | < | z1 − z2 |

Se pensarmos em |z1| e |z2| como dois lados de um triângulo, percebemos que |z1-z2| será o módulo do vetor z1 - z2, e portanto, nunca poderá ser maior que a soma dos módulos de z1 e z2.

Portanto,  | z1 | + | z2 |  é maior que | z1 − z2 |.

Alternativa B é falsa.

Para a terceira relação | z1 + z2 | < | z1 | − | z2 |

Para provar essa relação é necessário conhecimentos de produto escalar e conjugado. Porém, a literatura nos diz que:

• $|u|-|v| \leq |u+v|$

Portanto, | z1 + z2 |  é maior ou igual a  | z1 | − | z2 |

A alternativa C é falsa

Para a quarta relação || z1 | − | z2 || ≤ | z1 + z2 |

A literatura nos diz que:

• $||u|-|v||\leq |u-v|$
• ${\displaystyle |u|-|v|\leq |u-v|\,}$

Chamaremos

• | |z1| - |z2| | de A
• | z1 + z2| de B
• | z1 - z2| de C
• |z1| + |z2| de D
• |z1| - |z2| de E

Queremos saber se A $\leq$ B

Sabemos que

• A < C
• B >E
• D>C
• B<D
• E<C

Por lógica, podemos determinar que A é menor que B

Portanto, || z1 | − | z2 || é menor ou igual a  | z1 + z2 |.

Alternativa D é correta.

Portanto a sequência correta de preenchimentos das lacunas é:

V - F - F - V

Aprenda mais sobre números complexos em:

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