Question

Alguém sabe responder essas questões?​

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = \sin(e {}^{x} ) \to P( \ln(\pi),f( \ln(\pi))) \: \: \: \: \: \: \: \ \: \: \: \\ \\ y = \ln(x {}^{2} + 1) \to P(1,f(1)) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ y = (4x {}^{3} + 3x + 1). \ln(x) \to P(1,f(1))$

Creio que de tanto ler o que eu coloquei nas questões anteriores, você é expert em encontrar a reta tangente e a reta normal, por esse motivo colocarei apenas os passos.

• 1) Derivada das funções:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sin(e {}^{x} ) \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \ln(x {}^{2} + 1) \: \: \: \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (4x {}^{3} + 3x + 1). \ln(x)$

As duas primeiras são bem fáceis de derivar, mas a terceira requer paciência, pois deve-se usar a regra do produto. Fazendo isso:

$\frac{dy}{dx} = \cos(e {}^{x } ).e {}^{x} \: \: \: e \: \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x {}^{2} }$

Resolvendo a terceira separadamente:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (4x {}^{3} + 3x + 1). \ln(x) \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ( 4x {}^{3} + 3x + 1). \ln(x) + (4x {}^{3} + 3x + 1). \frac{d}{dx} \ln(x) \\ \\ \frac{dy}{dx} = (12x { }^{2} + 3). (\ln(x)) + (4x {}^{3} + 3x + 1). \frac{1}{x} \\ \\ \frac{dy}{dx} = 12x {}^{2} \ln(x) + 3 \ln(x) + \frac{4x {}^{3} }{x} + \frac{3x}{x} + \frac{1}{x} \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 12x {}^{2} \ln(x) + 3 \ln(x) + 4x {}^{2} + 3 + \frac{1}{x} }$

• Substituindo o valor de "x" nas derivadas:

$\frac{dy}{dx} = \cos(e {}^{x} )e {}^{x} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \cos(e {}{}^{ \ln(\pi)} ).e {}^{ \ln(\pi)} \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = - 1\pi} \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x {}^{2} + 1 } \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ {1}^{2} + 1} \longrightarrow \boxed{{ \frac{dy}{dx} = 1 }} \\ \\ \frac{dy}{dx} = 12x {}^{2} \ln(x) + 3 \ln(x) + 4x {}^{2} + 3 + \frac{1}{x} \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = 12.1 {}^{2} . \ln(1) + 3 \ln(1) + 4.1{}^{2} + 3 + \frac{1}{1} \\ \\ \frac{dy}{dx} = 0 + 0 + 4 + 3 + 1 \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = 8}$

• Encontrando o ponto em que a reta tangente passa:

$y = \sin(e {}^{x})\longrightarrow y =0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ y = \ln(x {}^{2} + 1)\longrightarrow y = \ln(2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ y = (4.1 {}^{3} + 3.1 + 1). \ln(1)\longrightarrow y = 0$

• Equação da reta tangente:

Substituindo os dados na equação fundamental da reta, temos que

$y-y_0=m.(x-x_0) \\ y - 0 = ( - 1\pi).(x - \ln(\pi)) \\ \boxed{y = - \pi x + \pi \ln(\pi) }\\ \\ y-y_0=m.(x-x_0) \\ y - \ln(2) = 1.(x - 1) \\ y - \ln(2) = x - 1 \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ y = x - 1 + \ln(2) }\: \: \: \: \: \: \\ \\y-y_0=m.(x-x_0)\\ y - 0 = 8.(x - 1) \\ \boxed{y = 8x - 8}$

• Equação da reta normal:

Organizando os coeficientes angulares que são o inverso do oposto do coeficiente da reta tangente:

$m_1 = \frac{1}{\pi} \: \: e \: \: m_2 = - 1 \: \: e \: \: m_3 = - \frac{1}{8}$

Substituindo esses dados e os pontos:

$y - 0= \frac{1}{ \pi } .(x- \ln(\pi)) \\ y = \frac{x}{\pi} - \frac{ \ln(\pi)}{\pi} \\y = \frac{x - \ln(\pi)}{\pi} \\ \\ y - \ln(2) = - 1.(x - 1) \\ y - \ln(2) = - x + 1 \: \: \: \: \: \: \: \\ y = - x + 1 + \ln(2) \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ y - 0 = - \frac{1}{8} .(x - 1) \\ y = - \frac{x}{8 } + \frac{1}{8} \\ \boxed{ y = - \frac{ x + 1}{8} }$

Espero ter ajudado