Question

Alguém sabe responder?​

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = e {}^{ - \frac{1}{x} } \to P(1,f(1)) \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\ \\ y = \cos \left( \frac{x}{2} \right) \to P(0,f(0))$

Primeiro devemos derivar essas funções pois a derivada é justamente o coeficiente angular da reta tangente a uma curva. Fazendo isso:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}e {}^{ - \frac{1}{x} } \: \: \: e \: \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \cos \left( \frac{x}{2} \right)$

Ambas as funções são compostas, então adiantando logo, devemos aplicar a regra da cadeia, ou seja, derivar a função e multiplicar pela derivada da função que se encontra dentro do parêntese ou no expoenre. (Lembre-se que a derivada do número de euler (e) é justamente o número de euler, mas sempre que a função é composta, devemos multiplicar pela derivada dessa função que faz parte.

$\frac{dy}{dx} = e {}^{ - \frac{1}{x} } \frac{d}{dx} . \left( - \frac{1}{x} \right) \: \: \: e \: \: \: \frac{dy}{dx} = - \sin \left( \frac{x }{2} \right). \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = e {}^{ - \frac{1}{x} } . \frac{d}{dx}( - 1.x {}^{ - 1} ) \: \: e \: \: \frac{dy}{dx} = - \sin\left( \frac{x}{2} \right). \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2} .x \right) \\ \\ \frac{dy}{dx} = e {}^{ - \frac{1}{x} } .( - 1.( - 1.x {}^{1 - 1} )) \: \: e \: \: \frac{dy}{dx} = - \sin\left( \frac{x}{2} \right). \frac{1}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = e {}^{ - \frac{1}{x} } . \frac{1}{x {}^{2} } \: \: e \: \: \frac{dy}{dx} = - \frac{ \sin\left( \frac{x}{2} \right) }{2} }$

Agora vamos substituir o valor de "x" dentro de cada coeficiente angular dy/dx:

$\frac{dy}{dx} = e {}^{ - \frac{1}{ - 1} } . \frac{1}{( - 1) {}^{2} } \: \: \: e \: \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{ \sin \left( \frac{0}{2} \right) }{2} \\ \\ \frac{dy}{dx} = e {}^{1} . \frac{1}{1} \: \: \: e \: \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{ \sin \left( 0 \right)}{2} \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = e \: \: \: \: e \: \: \: \: \frac{dy}{dx} = 0}$

Esses são os coeficientes angulares, agora vamos encontrar o "y" respectivo a cara função, para isso basta substituir o valor de "x" na função "y" inicial lá do começo.

$y = e {}^{ - \frac{1}{x} } \longrightarrow y = e {}^{ - \frac{1}{ - 1} } \longrightarrow y = e \\ \\ y = \cos\left( \frac{x}{2} \right)\longrightarrow y = \cos\left( \frac{0}{2} \right)\longrightarrow y = 1$

Portanto temos que na primeira função o ponto é P(-1,e) e o ponto da segunda função é P(0,1). Substituindo esses dados na equação fundamental da reta, temos que:

$y-y_0=m.(x-x_0 ) \: \\ y - e = e.(x - ( - 1)) \\ y - e = ex + e \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{y = ex + 2e }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ y-y_0=m.(x-x_0) \\ y -1 = 0.(x - 0) \: \: \: \: \: \\ y - 1 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{y = 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A reta normal é basicamente uma reta perpendicular a reta tangente, ou seja, a reta normal tem o coeficiente angular sendo o inverso do oposto do coeficiente da reta tangente, como por exemplo se "m" da tangente fosse 2, o "m" da normal seria o inverso 1/2 e oposto -1/2. Logo:

$reta \: normal\\ m = - \frac{1}{e} \: \: e \: \: m = - 1$

Substituindo esses coeficientes e o ponto:

$y-y_0=m.(x-x_0) \: \: \: \: \: \: \\ y - e = - \frac{1}{e} .(x -( - 1)) \\ y - e = - \frac{1}{e} x - \frac{1}{e} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ y = - \frac{x}{e} - \frac{1}{e} + e \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ y = - \frac{x}{e} - \frac{1 + e {}^{2} }{e} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{y = - \frac{x - 1 + e {}^{2} }{ e}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ y-y_0=m.(x-x_0) \: \: \: \\ y - 1 = 0.(x - 0) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ y - 1 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{y = 1}$

Espero ter ajudado