Alguém sabe fazer essas questões?
Soluções para a tarefa
hahaha, não vejo muitas questões assim nesse site.
Envolve Geo analítica e cálculo bicho...
Enfim:
A questão pede primeiro a equação das retas tangentes.
O coeficiente angular das retas pode ser obtido por meio da derivada das equações.
No caso D, consultando uma tabela de derivadas ou algo assim, é possível observar a derivada do arccos(x)
d/dx arccos(x) = -1/√(1-x^2)
Entretanto, a questão precisa da derivada de arccos(2x).
Portanto, é necessário utilizar a regra da cadeia
f'(x) = (d/du(x) f(u(x)) x (d/dx u(x))
Nesse caso, u(x) = 2x
u'(x) = 2
d/du(x) f(u(x)) = -1/√(1-u(x)^2)
f'(x) = -1/√(1-u(x)^2) x (2)
f'(x) = -2/√(1-4x^2)
Na alternativa, é pedido a reta tangente quando x = 0
Portanto:
f'(0) = -2/√(1-4x0^2)
f'(0) = -2/√(1)
f'(0) = -2
Portanto, -2 é o coeficiente angular da reta tangente que passa por esse ponto
x = 0
y = arccos(2x) = arccos(0) = pi/2
A equação de uma reta que passa por um ponto específico P = (xp,yp) pode ser dada por:
(y-yp) = (m)(x - xp)
Nesse caso:
m = -2
(y - pi/2) = (-2)(x - 0)
Equação da reta Tangente em x = 0:
y -2x -pi/2 = 0
Na alternativa E, f(x) = (x^5 + 1)/(x^4 + 1)
Nesse caso, a derivada pode ser obtida pela regra do quociente:
d/dx f(x)/g(x) = ( f'(x).g(x) - g'(x).f(x) )/g(x)^2
d/dx x^5 + 1 = 5x^4
d/dx x^4 + 1 = 4x^3
d/dx (x^5 + 1)/(x^4 + 1) = [(5x^4)(x^4 + 1) - (4x^3)(x^5 + 1)]/(x^4 + 1)^2
No caso da questão, x = 1
Substituindo x, fica:
[(5)(1 + 1) - (1)(1 + 1)]/(1 + 1)^2
[(5)(2) - 2]/4 = 8/4 = 2
m = 2
x = 1
y = (x^5 + 1)/(x^4 + 1)
y = (1+1)/(1+1) = 1
y = 1
(y-yp) = (m)(x - xp)
(y - 1) = 2(x-1)
y - 1 = 2x - 2
y - 2x + 1 = 0
Assim, as equações das retas tangentes são:
y -2x -pi/2 = 0
e
y - 2x + 1 = 0
Agora, quanto às retas normais, é meio complicado hahaha
Ainda sou estudante do ensino médio e não estudei essa parte do assunto, porém vou presumir que uma reta normal a uma função seria aquela perpendicular à tangente no mesmo ponto que a tangente toca a função
Para obter o coeficiente angular de uma reta assim, é possível utilizar a seguinte relação:
m1 x m2 = -1
Na D, m = -2
-2 x m2 = -1
m2 = 1/2
(y - pi/2) = (1/2) (x - 0)
Provável equação da reta normal:
y + (1/2)x - pi/2 = 0
Na E, m = 2
2 x m2 = -1
m2 = -1/2
(y-1) = (-1/2)(x-1)
2 - 2y = x - 1
Provável equação da reta normal:
x + 2y - 3 = 0
Enfim, acho que é isso. Não posso afirmar com 100% de certeza pois ainda sou estudante de ensino médio e só aprendi o início de cálculo por causa de física para vestibulares militares e olimpíadas científicas. Entretanto acho que essas respostas estão corretas. Espero ter ajudado um pouco ^-^