Question

Alguém sabe resolver??????

Answer 1

1) Basta você calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta. Se essa distância for menor do que o raio da circunferência está provado que a reta é secante a essa circunferência.
$x^2 + y^2 -6x +4y +9 = 0\\ (x-3)^2 + y^2 + 4y + 4 = 4\\ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 2^2$
Apenas completei os quadrados para encontrar o raio e o ponto em que está situado o centro da circunferência. A saber: Raio = 2 e Centro = (3,-2).

Distância do centro à Reta:
$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\ d = \frac{|-3-2+3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
Como podemos ver a distância entre Centro da Circunferência e Reta é menor do que o raio da circunferência, logo está provado que a reta é secante à circunferência.

2) Aqui basta ver que os pontos de interseção são valores (x,y) que satisfazem tanto a equação da circunferência quanto a equação da reta ao mesmo tempo. 
Sendo assim basta substituir uma na outra.
Da equação da reta sabemos: -x + y + 3 = 0 -> y = x - 3. Agora substituímos na equação da circunferência:

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 4 \\ (x-3)^{2} + (x-3+2)^2 = 4 \\ x^{2} - 6x + 9 + x^{2} - 2x + 1 = 4\\ 2x^{2} - 8x + 6 = 0 \\ \Delta = (-8)^{2} - 4.2.6 = 16 \\ \sqrt{\Delta} = 4\\ x_1 = \frac{8+4}{2.2} = 3\\ x_2 = \frac{8-4}{2.2} = 1\\ y_1 = 3 - 3 = 0\\ y_2 = 1-3 = -2$
Então os pontos de interseção são (3,0) e (1,-2).
3) A distância entre esses pontos determina o comprimento da corda:
$D = \sqrt{(3-1)^{2} + (0-(-2))^{2}}\\ D = 4 \sqrt{2}$

4) A área do triângulo formado pelo centro e os dois pontos de interseção é facilmente calculado utilizando o método do determinante:
$A = \frac{D}{2}\\ D = det\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right] \\ D = det\left[\begin{array}{ccc}3&-2&1\\3&0&1\\1&-2&1\end{array}\right] \\ D = 4\\ A = \frac{4}{2} = 2$