Question

Alguém poderia me dizer qual é a resolução dessa integral: $2\int\limits^\infty_{-\infty} {e^{-x^2}} \, dx$

Answer 1

Resposta:

f(x)= 1/σ√2π  * e ^[(-1/2σ²) * (x-μ)²]  é a densidade da Normal(μ,σ²)

f(x)= 1/(1/√2)√2π  * e ^[((-1/2(1/2)) * (x²)

f(x)= √2/√2π  * e^(-x²)

f(x)= 1/√π  * e^(-x²)  ~  N(0,1/2)

A integral pedidade é :

2 * -∞  a +∞ ∫  e ^[(-1) * (x)²]  dx

 

observe e ^[(-1) * (x)²] é o núcleo da densidade da N(0,1/2),

podemos fazer

2 * -∞  a +∞ ∫ √π/√π e ^[(-1) * (x)²]  dx

2 * -∞  a +∞ √π ∫ 1/√π e ^[(-1) * (x)²]  dx

2 * √π  *  -∞  a +∞  ∫ 1/√π e ^[(-1) * (x)²]  dx

Observe  -∞  a +∞  ∫ 1/√π e ^[(-1) * (x)²]  dx =1

=2√π  unidade de área  é a resposta

Answer 2

Boa noite!!

Para facilitar um pouco nas contas, irei ignorar a constante 2 e multiplicar lá no fim. Temos então a integral, denominada I:

$I = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{-x^2}} \, dx$

Podemos também integrar em y, e o resultado será exatamente o mesmo da integral I, então:

$I = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{-y^2}} \, dy$

Multiplicando ambas as integrais, teremos:

$I^2 = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{-x^2}} \, dx \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{-y^2}} \, dy\\\\\\ I^2 = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{-x^2}e^{-y^2}}dxdy\\\\\\I^2 = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{-(x^2+y^2)} dxdy$

Fazendo uma mudança conveniente para coordenadas polares, temos:

$\left \{ {{x = r\cos(\theta)} \atop {y=r\sin(\theta)}} \right.\\\\ \Rightarrow x^2+y^2 = r^2\cos^2(\theta) +r^2\sin^2(\theta) = r^2[\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)] = r^2$

Além disso, o discriminante Jacobiano será:

$dxdy = r.drd\theta$

Mais ainda, o ângulo terá uma variação de 0 < θ ≤ 2π e o raio irá variar de 0 até infinito, para varrer todo o plano, como na integral anterior.

Substituindo na integral temos:

$I^2 = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^\infty {e^{-r^2} r.drd\theta$

Fazendo uma substituição de variável:

→ u = -r² ⇒ du = -2r.dr ⇒ r.dr = -du/2

$I^2 = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^\infty {e^u \left(-\frac{du}{2}\right)d\theta$

Pelas integrais iteradas temos:

$I^2 = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi} d\theta\displaystyle\int\limits_{0}^\infty {e^u \left(-\frac{du}{2}\right)$

$I^2 = (2\pi)\left(-\dfrac{1}{2}e^u\bigg|_0^{\infty}\right)\\\\\\I^2 = (2\pi)\left(-\dfrac{1}{2}e^{-r^2}\bigg|_0^{\infty}\right)\\\\\\I^2 = 2\pi\left[-\dfrac{1}{2}\right](0 -1)\\\\\\I^2= \pi\\\\\\\boxed{\boxed{I = \sqrt{\pi}}}$

Como, na integral original tínhamos a constante 2, então:

$2\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{-x^2}} \, dx = 2\sqrt{\pi}$

Espero ter ajudado, bons estudos!