Question

ALGUÉM PODERIA ME DEMONSTRAR A LEI/TEOREMA DAS TANGENTES(POIS PROCUREI EM OUTROS SITES E NÃO ACHEI UMA DEMONSTRAÇÃO DETALHADAMENTE INTELIGÍVEL)?

Answer 1

Oi!

Vou tentar explicar da melhor maneira possível, mas para um melhor entendimento, eu te aconselho a ler Referência de Identidade Trigonométrica, da Khan Academy. Lá ainda tem um vídeo demonstrando um monte de fórmulas, é bem bacana.

Vamos lá, podemos provar a Lei das Tangentes $\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan(\frac{1}{2}(a+b)) }{tan(\frac{1}{2} (a-b))}$ da seguinte forma:

Começamos com a Lei dos Senos:

$\frac{a}{sen(a)} = \frac{b}{sen(b)}$

Podemos reescrever isso como:

$\frac{a}{b} = \frac{sen(a)}{sen(b)}$

Tranquilo até aqui, certo?

Pela proporção, a = sen(a) e b = sen(b), então, podemos reescrever isso:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{sen(a)+sen(b)}{sen(a)-sen(b)}$

Agora, relembremos a soma dos senos de dois ângulos:

$sen (a) + sen (b) = 2sen\frac{a+b}{2} .cos\frac{a-b}{2}$

A subtração apenas muda o sinal:

$sen (a) - sen (b) = 2sen\frac{a-b}{2} .cos\frac{a+b}{2}$

Vamos, então, substituir isso naquela fórmula:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{2sen\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2} }{2sen\frac{a-b}{2}.cos\frac{a+b}{2} }$

O que é tangente mesmo? $tan = \frac{sen}{cos}$. Logo, como o seno está multiplicando o cosseno ao invés de dividir, podemos reescrever isso tudo da seguinte maneira:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan(\frac{a+b}{2}) }{tan(\frac{a-b}{2}) } \\\\<=> \frac{a+b}{a-b} = \frac{tan(\frac{1}{2}(a+b)) }{tan(\frac{1}{2}(a-b)) }$

Não sei se ficou confuso, mas espero que eu tenha conseguido te ajudar!