Question

Alguém poderia me ajudar a encontrar a solução geral da equação diferencial
$xy^2y' + y^3 = x cos(x)$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{y=\dfrac{\sqrt[3]{(3x^3-18x)\sin(x)+(9x^2-18)\cos(x)+C}}{x},~C\in\mathbb{R}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta equação diferencial, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a equação diferencial:

$\mathsf{xy^2y'+y^3=x\cos(x)}$

Divida ambos os lados da equação por $x$

$\mathsf{y^2y'+\dfrac{y^3}{x}=\cos(x)}$

Multiplique ambos os lados da equação por $3$

$\mathsf{3y^2y'+\dfrac{3y^3}{x}=3\cos(x)}$

Então, faça uma substituição $\mathsf{t=y^3}$. Diferenciamos ambos os lados da expressão para encontrarmos o diferencial $\mathsf{t'}$:

$\mathsf{t'=(y^3)'}\\\\\\ \mathsf{t'=3y^2y'}$

Dessa forma, a equação diferencial se torna:

$\mathsf{t'+\dfrac{3t}{x}=3\cos(x)}$

Esta é uma equação de Bernoulli. Ela assume a forma $\mathsf{y'+P(x)y=Q(x)y^n}$.

Veja que neste caso, temos $\mathsf{P(x)=\dfrac{3}{x}}$ e $\mathsf{Q(x)=3\cos(x)}$. Da mesma forma, este é um caso em que $\mathsf{n=0}$, logo não necessitamos realizar outra substituição.

A solução é dada por $\mathsf{y=\dfrac{\displaystyle{\int Q(x)\cdot I.\,F\,dx}}{I.\,F}}$, em que $\mathsf{I.\,F}$ é o fator integrante, calculado pela fórmula: $\mathsf{I.\,F=e^{\int P(x)\,dx}}$.

Substituindo $\mathsf{P(x)}$ na fórmula, teremos:

$\mathsf{I.\,F=e^{\int \frac{3}{x}\,dx}}$

Calcule a integral

$\mathsf{I.\,F=e^{3\ln(x)}}$

Aplique as propriedades de logaritmos: $\mathsf{a\cdot\ln(x)=\ln(x^a)}$ e $\mathsf{e^{ln(x^a)}=x^a}$

$\mathsf{I.\,F=e^{\ln(x^3)}}\\\\\\ \mathsf{I.\,F=x^3}$

Então, substitua este resultado na fórmula resolutiva:

$\mathsf{t=\dfrac{\displaystyle{\int 3\cos(x)\cdot x^3\,dx}}{x^3}}$

Agora, utilizamos a tabela D. I para calcularmos esta integral.

Acompanhe a resolução em anexo.

$\mathsf{t=\dfrac{3x^3\sin(x)+9x^2\cos(x)-18x\sin(x)-18\cos(x)+C}{x^3}}$

Desfaça a substituição $\mathsf{t=y^3}$

$\mathsf{y^3=\dfrac{3x^3\sin(x)+9x^2\cos(x)-18x\sin(x)-18\cos(x)+C}{x^3}}$

Retire a raiz cúbica em ambos os lados da equação

$\mathsf{y=\sqrt[3]{\dfrac{3x^3\sin(x)+9x^2\cos(x)-18x\sin(x)-18\cos(x)+C}{x^3}}}$

Fatore a expressão e calcule a raiz

$\mathsf{y=\dfrac{\sqrt[3]{(3x^3-18x)\sin(x)+(9x^2-18)\cos(x)+C}}{x}}}$

Esta é a solução geral desta equação diferencial.