Matemática, perguntado por titoinho10, 9 meses atrás

Alguém pode fazer uma explicação detalhada sobre MMC e MDC

Soluções para a tarefa

Respondido por HydroXBR

Primeiro, precisamos saber o que são os múltiplos e os divisores de um número.

O que são múltiplos de um número?

São os resultados da multiplicação deles por todos os números naturais. É importante ressaltar que os números têm infinitos múltiplos...

Por exemplo, os múltiplos de 2 são os resultados destas multiplicações:

2 × 1 = 2
2 × 2 = 4
2 × 3 = 6
2 × 4 = 8
E assim por diante...
Então, temos que o conjunto dos múltiplos de 2 é:
M(2) = {2, 4, 6, 8...}

O que são os divisores de um número?

São os números naturais que podem dividir um número sem deixar resto. O 1 é divisor de todos os números naturais.

Vamos pegar como exemplo o número 14. Observe que ele pode ser dividido por 1, pois 14/1 = 14, por 2, pois 14/2 = 7, por 7, pois 14/7 = 2 e por 14, pois 14/14 = 1.

Então, o conjunto de divisores dele pode ser representado por:

D(14) = {1, 2, 7, 14}

Agora, sim, podemos entender o que são o MMC e o MDC.

MMC significa Mínimo Múltiplo Comum, ou seja, o menor múltiplo de dois ou mais números.

Por exemplo, queremos saber o MMC de 4 e 8. Vamos ver o conjunto de múltiplos deles:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...}

M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48...}
Então, podemos notar que o MMC deles é 8, pois é o menor número múltiplo de 4 e de 8 ao mesmo tempo.

Já MDC significa Máximo Divisor Comum, ou seja, o maior número que divide dois números ou mais.

Vamos pegar como exemplo os números 14 e 21.
Veremos o conjunto dos divisores de cada um:

D(14) = {1, 2, 7, 14}

D(21) = {1, 3, 7, 21}
Então, podemos notar que o MDC deles é 7, pois é o maior número que pode dividir 14 e 21 ao mesmo tempo.

Já sabemos o conceito de MMC e MDC, agora.

Basta apenas saber como calcular o MMC e o MDC de dois ou mais números de uma forma mais fácil.

Exemplos:

MMC de 40 e 60 → Traçamos uma linha vertical e colocamos os números que o MMC será calculado de um lado desta linha:

40, 60 | x

Os números desse lado, aonde está x, são os números primos (2, 3, 5, 7, 11...) que dividem um dos números ou os dois juntos. Então, o primeiro que divide é o 2. Fica:

40, 60 | 2 → Os resultados ficam abaixo:

20, 30 | 2 ← Por 2, novamente:

10, 15 | 2 ← Por 2, novamente:

5, 15 | 3 ← Agora, por 3, pois não são divisíveis por 2:

5, 5 | 5 ← Agora, por 5, pois nenhum deles são divisíveis por 3.

1, 1 | ------

Chegamos ao 1, então, agora, vamos multiplicar os números primos que dividiram 40 e 60:
2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Então, o MMC de 40 e 60 é 120.

Com o MDC, é a mesma coisa. A diferença é que multiplicaremos apenas os números primos que dividiram todos os outros números ao mesmo tempo. Veja, no exemplo do MMC, que deixei alguns em negrito, eles que dividiram os dois números ao mesmo tempo, e basta multiplicá-los para obter o MDC entre 40 e 60. Então, temos: