Question

Alguém pode dar uma ajuda?

Answer 1

O volume de um cilindro qualquer é dado pela seguinte formula:

V(r,h) = πr²h

Sendo assim, o centro do cilindro deverá coincidir com o centro da esfera:


onde:

R é o raio da esfera.
r é a metade da base desse cilindro.
h/2 é a altura média do cilindro.

       |
       | \ 
h/2  |   \  R
       |     \      
        ------
          r

Por pitagoras temos que r é:

$\\ r^2+( \frac{h}{2} )^2= R^2 \\ \\ r^2+\frac{h^2}{4} = R^2 \\ \\ r^2 = R^2-\frac{h^2}{4} \\ \\ r^2 = \frac{4R^2-h^2}{4}$

Substituindo r² na formula do volume teremos:

$\\ V(r,h) = \pi r^2*h \\ \\ V(r,h) = \pi ( \frac{4R^2-h^2}{4} )*h \\ \\ V(r,h) = \frac{4 \pi hR^2- \pi h^3 }{4}$

Como R não interfere na variação , o volume será:

$V(h) = \frac{4 \pi hR^2- \pi h^3}{4}$

Achando o ponto máximo derivando a derivada primeira:

$\\ V(h)' = 0 \\ \\ V(h)' = \frac{ d\frac{(4 \pi hR^2- \pi h^3)}{4} }{dh} \\ \\ V(h)' = \frac{1}{4} *(4 \pi R^2-3 \pi h^2) \\ \\V(h)' = \pi R^2- \frac{3 \pi h^2}{4}$

Igualando a zero, assim determinaremos o ponto máximo:

$\\ \pi R^2- \frac{3 \pi h^2}{4} = 0 \\ \\ \frac{3 \pi h^2}{4} = \pi R^2 \\ \\ 3 \pi h^2 = 4 \pi R^2 \\ \\ 3h^2 = 4R^2 \\ \\ h^2 = \frac{4R^2}{3} \\ \\ h = \sqrt{ \frac{4R^2}{3} } \\ \\ h = \frac{2R}{ \sqrt{3} } \\ \\ h = \frac{2R}{ \sqrt{3} } * \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ \\ h = \frac{2R \sqrt{3} }{3}$

Substituindo R = 10cm teremos:

$\\ h = \frac{2R \sqrt{3} }{3} \\ \\ h = \frac{20 \sqrt{3} }{3} cm$

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Tinhamos que:


$\\ r^2 = \frac{4R^2-h^2}{4} \\ \\ r^2 = \frac{4*10^2- (\frac{20 \sqrt{3} }{3})^2 }{4} \\ \\ r^2 = 66,7071 \\ \\ r = \sqrt{66,7071} \\ \\ r = 8,17cm$


Mas como r é a metade de base do cilindro, deveremos multiplicar por 2.

$Base_{cilindro} = 2r = 16,33cm$
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O volume será:

$\\ V_{maximo} = \pi (r_{cilindro} )^2* h_{cilindro} \\ \\ V_{maximo} = \pi *(8,17cm)^2* \frac{20 \sqrt{3} }{3} \\ \\ V_{maximo} = 2.421cm^3$