Question

Alguem me explica essas questões? "Encontre o termo que falta para o que falta para que o trinômio seja um quadrado perfeito: a- x ² + 18x + __b- 9x + __x + 4c- x ² - 20x + __d- 4x² - __x + 49e- __x² - 30x + 25 "ps: eu até tenho as respostas, a professora explicou porém ainda não consegui responder porquê não entendi.

Answer 1

A forma geral de um trinômio quadrado perfeito é:

$a^{2}+2*a*b+b^{2}$

Em primeiro lugar vem o quadrado de $a$ ($a^{2}$). Digamos que $a$ seja 5, então o primeiro termo é 25.

Mas se $a$ for igual à $x$, o primeiro termo será $x^{2}$.

E ainda tem um terceiro caso, em que $a$ seja $2x$, por exemplo. Neste caso, o primeiro termo será $2x^{2}$, o que resultará em $4x^{2}$.

O segundo termo será o primeiro termo, $a$, vezes o segundo termo $b$, vezes 2.

Digamos que $a$ seja 4, $b$ seja 2, então o segundo termo será $4*2*2=16$.

Outro exemplo, $a=x$, $b=5$, então o segundo termo será: $x*5*2=10x$.

E também, $a=2x$, $b=4$. Neste caso teremos: $2x*4*2=16x$.

O terceiro termo é o quadrado de b ($b^{2}$), valem para este termo as mesmas explicações do primeiro.

Agora, respondendo as questões:

a) $x^{2}+18x+??$

O primeiro termo será sempre $a^{2}$. Como na questão o primeiro termo é $x^{2}$, logo $a=x$.

O termo que se está procurando é o $b^{2}$. Para encontrar esse valor, nos lembremos que o segundo termo é sempre $2*a*b$.

O valor de $a$ já sabemos, é $x$. O termo no trinômio é $18x$. Podemos fazer a seguinte igualdade:

$18x=a*b*2$

Mas $a=x$, então:

$18x=x*b*2$

Resolvendo essa equação para encontrar o valor de b:

$18x=b*2x$

$b=18x/2x$

$b=9$

$b=9$, logo o terceiro termo no trinômio será $9^{2}=81$.

Resposta: $x^{2}+18x+81$



b) $9x^{2}+??x+4$

Nesta questão, queremos saber qual é o coeficiente de $x$ no segundo termo.

Primeiro devemos encontrar o valor de $a$. Sabemos que o primeiro termo é sempre $a^{2}$. Como na questão o primeiro termo é $9x^{2}$, tirando a raiz quadrada deste valor, teremos $a$:

$a=\sqrt{9x^2}$

lembrando que $9=3^{2}$

$a=\sqrt{3^{2}*x^2}$

$a=3x$

O terceiro termo do trinômio é $b^2$. Na questão o termo é 4, então $b$ será a raiz quadrada de 4, que é 2.

$b=\sqrt{4}$

$b=2$

O segundo termo sempre será $2*a*b$, substituindo esses valores com os já obtidos:

$2*a*b=2*3x*2$

$2*a*b=12x$

Resposta: $9x^{2}+12x+4$



c) $x^{2}-20x+??$

Semelhante à questão a, devemos encontrar o termo $b$. O termo $a$ é facilmente encontrado lembrando que ele é a raiz quadrada do primeiro termo:

$a=\sqrt{x^{2}}$

$a=x$

Fazendo a igualdade no segundo termo:

$2*a*b=20x$

Como $a=x$:

$2*x*b=20x$

$2x*b=20x$

$b=20x/2x$

$b=10$

Como o terceiro termo será $b^{2}$, teremos $10^{2}=100$

Resposta: $x^{2}-20x+100$