Question

quem souber me ajude !

Answer 1

Para que $f$ seja contínua em $x_{0}=1,$ as seguintes condições devem ser satisfeitas:

$\mathbf{a.}~~\text{ Existe }f(1)\,;\\\\\\ \mathbf{b.}~~\text{ Existe }~\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}~f(x)\,;\\\\\\ \mathbf{c.}~~\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}~f(x)=f(1).$

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A função é a seguinte:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{lc} \dfrac{5x}{6}-\dfrac{1}{3}\,,&\text{para }x\le 1\\\\ \dfrac{x}{2x-2}\,,&\text{para }x>1 \end{array} \right.$


$\bullet~~x_{0}=1\in \mathrm{Dom}(f)~~~~(\checkmark)$

$f(1)=\dfrac{5\cdot 1}{6}-\dfrac{1}{3}\\\\\\ =\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}\\\\\\ =\dfrac{5-2}{6}\\\\\\ =\dfrac{3}{6}\\\\\\ \therefore~\boxed{\begin{array}{c} f(1)=\dfrac{1}{2} \end{array}}~~~~~~\mathbf{(i)}$

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$\bullet~~$ Calculando o limite de $f,$ quando $x\to 1^{+},$ isto é, quando $x$ tende a $1$ por valores maiores que $1:$

$\underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{\ell im}}~f(x)\\\\\\ =\underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{x}{2x-2}~~~~~~\mathbf{(ii)}$


O limite acima é do tipo $k/0,$ sendo $k$ uma constante $\ne 0.$ Como é um limite lateral, temos apenas duas possibilidades para este limite:

ou é $+\infty\,,$ ou é $-\infty.$


Para saber qual o sinal, basta observar o sinal do denominador

$g(x)=2x-2$

para valores de $x$ maiores que $1,$ na vizinhança de $x_{0}=1:$

$g(x)~~~~\underline{~-----~}\underset{1}{\circ}\underline{~+++++~}$


Como $g(x)>0,$ e o numerador tende a $1,$ o limite $\mathbf{(ii)}$ é $+\infty.$

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$\bullet~~$ Calculando o limite de $f,$ quando $x\to 1^{-},$ isto é, quando $x$ tende a $1$ por valores menores que $1:$

$\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}~f(x)\\\\\\ =\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\left(\dfrac{5x}{6}-\dfrac{1}{3} \right )\\\\\\ =\dfrac{5\cdot 1}{6}-\dfrac{1}{3}\\\\ \vdots\\\\ =\dfrac{1}{2}~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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Conclusão 1: Por $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)},$ detectamos que o limite

$\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}~f(x)~~\text{n\~{a}o existe,}$

pois os limites laterais diferem.


Conclusão 2: Como o limite de $f$ não existe quando $x \to 1,$ concluímos que

$f$ não é contínua em $1.$